في اللعبة الصغيرة Bowser's Big Blast من Mario Party 2 و Mario Party Superstars، يختار اللاعبون مفتاحًا واحدًا في كل مرة. مفتاح واحد فقط يطلق القنبلة، أما الآخرون فيكونون آمنين. عند البدء بـ \(4\) لاعبين، توجد مفاتيح \(5\) . من يضغط أولاً يخسر بمقدار \(20\,\%\) ; آخر شخص يقف أمام مفاتيح \(2\) فقط لديه \(50\,\%\) . ومع ذلك، فإن المركز الأخير ليس لديه احتمال أكبر للخسارة. ينشأ التناقض الظاهري لأننا نقارن الاحتمالات في نقاط زمنية مختلفة.
نفترض أن المفجر موزع بالتساوي بين المفاتيح الحرة ولا يمكن اكتشافه. يحصل اللاعب الأخير على دوره فقط إذا قام اللاعبون \(3\) الأوائل بالضغط بأمان، أي أن القنبلة لم تنفجر. احتمال حدوث ذلك هو \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . في \(60\,\%\) المتبقية تنتهي الجولة مسبقًا. إذا قمت بمضاعفة فرصة الحصول على دور في المخاطرة اللاحقة، فستحصل على نفس \(20\,\%\) كما هو الحال بالنسبة للاعب الأول. وهذا يؤدي إلى الموقف الأخير:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
بواسطة \(q\) نشير إلى احتمال أن يكون لاعب معين هو اللاعب التالي الذي سيتم إقصاؤه، حتى بعد أي عدد من التكرارات. في الجولة الأولى هناك ثلاث حالات: مع \(1/5\) يضرب هذا اللاعب. مع \(3/5\) يضرب أحد الآخرين؛ لن يتم إقصاء لاعبنا بعد ذلك. مع \(1/5\) ينجو الجميع ويتم إعادة ضبط المفاتيح. بعد ذلك يبقى الوضع على ما هو عليه، وبالتالي تكون الفرصة المطلوبة مرة أخرى \(q\) . ولهذا السبب ينطبق:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
بعد التصفية التالية، يبدأ اللاعبون المتبقون مرة أخرى على قدم المساواة. فرصة البقاء على قيد الحياة حتى ذلك الحين هي \(3/4\) عند البدء بـ \(4\) لاعبين، ثم بـ \(3\) لاعبين \(2/3\) وأخيراً بـ \(2\) لاعبين \(1/2\) . إذا قمت بمضاعفة هذه الفرص المشروطة للبقاء، فستحصل على فرصة \(25\,\%\) للفوز بمركزي البداية الأول والأخير. بشكل عام، مع \(n\) اللاعبين، الجميع يفوز بـ \(1/n\) . الألوان لا تساعد في النموذج العادل. ليتبع النصر الشامل:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.