W minigrze Bowser's Big Blast z Mario Party 2 i Mario Party Superstars gracze wybierają przełącznik po kolei. Dokładnie jeden przełącznik uruchamia bombę, pozostałe są bezpieczne. Kiedy zaczynasz z \(4\) graczami, dostępnych jest \(5\) przełączników. Ktokolwiek naciśnie pierwszy, przegrywa o \(20\,\%\) ; Ostatnia osoba stojąca przed tylko \(2\) przełącznikami ma \(50\,\%\) . Niemniej jednak ostatnie miejsce nie wiąże się z większym prawdopodobieństwem straty. Pozorna sprzeczność powstaje, gdy porównujemy prawdopodobieństwa w różnych momentach czasu.
Zakładamy, że detonator jest równomiernie rozłożony pomiędzy wolnymi przełącznikami i nie jest wykrywalny. Ostatni gracz rozpoczyna swoją turę tylko wtedy, gdy pierwsi \(3\) gracze wcisnęli bezpiecznie, tj. bomba nie eksplodowała. Prawdopodobieństwo tego wynosi \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . W pozostałych \(60\,\%\) runda kończy się wcześniej. Jeśli pomnożysz szansę na otrzymanie tury przez późniejsze ryzyko, otrzymasz takie samo \(20\,\%\) jak w przypadku pierwszego gracza. Daje to ostatnią pozycję:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Przez \(q\) oznaczamy prawdopodobieństwo, że dany gracz będzie następny do eliminacji, nawet po dowolnej liczbie powtórzeń. W pierwszej rundzie są trzy przypadki: Za pomocą \(1/5\) trafia tego gracza. Z \(3/5\) uderza w jeden z pozostałych; nasz gracz nie zostanie wtedy wyeliminowany jako następny. Dzięki \(1/5\) wszyscy przeżyją, a przełączniki zostaną zresetowane. Potem sytuacja pozostaje niezmieniona, więc pożądana szansa znów wynosi \(q\) . Dlatego to ma zastosowanie:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Po kolejnej eliminacji pozostali gracze zaczynają od nowa na równych zasadach. Szansa na przeżycie do tego czasu wynosi \(3/4\) gdy zaczynamy z \(4\) graczami, następnie z \(3\) graczami \(2/3\) i na koniec z \(2\) graczami \(1/2\) . Jeśli pomnożysz te warunkowe szanse na przeżycie, otrzymasz \(25\,\%\) szansę na wygraną dla pierwszej i ostatniej pozycji startowej. Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku graczy \(n\) wszyscy wygrywają z graczami \(1/n\) . W modelu fair nie pomagają kolory. Następuje ogólne zwycięstwo:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.