Dans le mini-jeu Bowser's Big Blast de Mario Party 2 et Mario Party Superstars, les joueurs sélectionnent un interrupteur à la fois. Exactement un interrupteur déclenche une bombe, les autres sont en sécurité. Lorsque vous démarrez avec \(4\) joueurs, il y a des commutateurs \(5\) . Celui qui appuie en premier perd par \(20\,\%\) ; La dernière personne debout devant seulement \(2\) commutateurs a \(50\,\%\) . Néanmoins, la dernière place n’a pas une probabilité de perte plus élevée. La contradiction apparente survient parce que nous comparons les probabilités à différents moments.
Nous supposons que le détonateur est réparti uniformément entre les interrupteurs libres et n’est pas détectable. Le dernier joueur n'a son tour que si les premiers \(3\) joueurs ont appuyé en toute sécurité, c'est-à-dire que la bombe n'a pas explosé. La probabilité que cela se produise est \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . Dans les \(60\,\%\) restants, le tour se termine avant. Si vous multipliez la chance d'obtenir un tour par le risque ultérieur, vous obtenez le même \(20\,\%\) que pour le premier joueur. Cela aboutit à la dernière position:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Par \(q\) nous désignons la probabilité qu'un joueur donné soit le prochain à être éliminé, même après un nombre quelconque de répétitions. Au premier tour il y a trois cas : Avec \(1/5\) il touche ce joueur. Avec \(3/5\) il frappe l'un des autres ; notre joueur ne sera alors pas éliminé ensuite. Avec \(1/5\) , tout le monde survit et les interrupteurs sont réinitialisés. Ensuite, la situation reste inchangée, donc la chance souhaitée est à nouveau \(q\) . C'est pourquoi cela s'applique:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Après la prochaine élimination, les joueurs restants recommencent à égalité. La chance de survivre jusque-là est de \(3/4\) en commençant avec \(4\) joueurs, puis avec \(3\) joueurs \(2/3\) et enfin avec \(2\) joueurs \(1/2\) . Si vous multipliez ces chances conditionnelles de survie, vous obtenez \(25\,\%\) chance de gagner pour la première et la dernière position de départ. En général, avec \(n\) joueurs, tout le monde gagne avec \(1/n\) . Les couleurs n'aident pas dans le modèle équitable. Pour la victoire globale suit:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.