『マリオパーティ 2』と『マリオパーティ スーパースター』のミニゲーム「クッパのビッグブラスト」では、プレイヤーはスイッチを 1 つずつ選択します。 1 つのスイッチだけで爆弾が作動し、他のスイッチは安全です。 \(4\)プレイヤーから開始する場合、 \(5\)スイッチがあります。先に押した人が\(20\,\%\)の差で負けます。 \(2\)個のスイッチだけの前に立っている最後の人は\(50\,\%\)を持っています。とはいえ、最下位だからといって負ける可能性が高いわけではない。異なる時点での確率を比較するため、明らかな矛盾が生じます。
起爆装置は空いているスイッチに均等に分散されており、検出できないと仮定します。最初の\(3\)プレイヤーが安全に押した場合、つまり爆弾が爆発しなかった場合にのみ、最後のプレイヤーに順番が回ります。この確率は\(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\)です。残りの\(60\,\%\)では、ラウンドは事前に終了します。ターンを獲得できる確率にその後のリスクを乗算すると、最初のプレイヤーと同じ\(20\,\%\)が得られます。これにより、最終順位が決まります:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
\(q\)は、何度繰り返しても、特定のプレイヤーが次に敗退する確率を表します。最初のラウンドには 3 つのケースがあります。 \(1/5\)でこのプレイヤーに当たります。 \(3/5\)では、他のいずれかにヒットします。そうすれば、私たちのプレイヤーは次に排除されなくなります。 \(1/5\)では全員が生き残り、スイッチはリセットされます。その後も状況は変わらないので、望ましい確率は再び\(q\)になります。だからこそ当てはまる:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
次の敗退後、残りのプレイヤーは再び平等な条件でスタートします。最初に\(3/4\) \(4\)人のプレイヤー、次に\(3\)人のプレイヤー\(2/3\) 、最後に\(2\)人のプレイヤー\(1/2\)です。これらの条件付き生存確率を乗算すると、最初と最後の開始位置で勝つ確率は\(25\,\%\)になります。一般に、 \(n\)人のプレイヤーの場合、全員が\(1/n\)で勝ちます。公正なモデルでは色は役に立ちません。全体的な勝利は次のとおりです:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.