Trong trò chơi nhỏ Bowser's Big Blast của Mario Party 2 và Mario Party Superstars, người chơi chọn lần lượt một công tắc. Chính xác một công tắc sẽ kích hoạt quả bom, những công tắc khác vẫn an toàn. Khi bắt đầu với người chơi \(4\) sẽ có các công tắc \(5\) . Ai nhấn trước sẽ thua \(20\,\%\) ; Người cuối cùng đứng trước công tắc \(2\) có \(50\,\%\) . Tuy nhiên, vị trí cuối cùng không có xác suất thua cao hơn. Sự mâu thuẫn rõ ràng nảy sinh bởi vì chúng ta so sánh xác suất ở những thời điểm khác nhau.
Chúng tôi giả định rằng ngòi nổ được phân bổ đều giữa các công tắc tự do và không thể phát hiện được. Người chơi cuối cùng chỉ được đến lượt nếu \(3\) người chơi đầu tiên đã nhấn an toàn, tức là bom chưa nổ. Cơ hội của điều này là \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . Trong \(60\,\%\) còn lại, vòng đấu kết thúc trước. Nếu bạn nhân cơ hội có được một lượt với rủi ro tiếp theo, bạn sẽ nhận được \(20\,\%\) giống như đối với người chơi đầu tiên. Điều này dẫn đến vị trí cuối cùng:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Bằng \(q\) chúng ta biểu thị xác suất để một người chơi nhất định là người tiếp theo bị loại, ngay cả sau bất kỳ số lần lặp lại nào. Ở vòng đầu tiên có ba trường hợp: Với \(1/5\) nó trúng người chơi này. Với \(3/5\) nó chạm vào một trong những cái khác; người chơi của chúng tôi sau đó sẽ không bị loại tiếp theo. Với \(1/5\) mọi người đều sống sót và các công tắc được đặt lại. Sau đó, tình hình không thay đổi nên cơ hội mong muốn lại là \(q\) . Đó là lý do tại sao nó được áp dụng:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Sau lần loại tiếp theo, những người chơi còn lại bắt đầu lại với điều kiện ngang nhau. Cơ hội sống sót cho đến lúc đó là \(3/4\) khi bắt đầu với \(4\) người chơi, sau đó với \(3\) người chơi \(2/3\) và cuối cùng là với \(2\) người chơi \(1/2\) . Nếu bạn nhân các cơ hội sống sót có điều kiện này lên, bạn sẽ có \(25\,\%\) cơ hội chiến thắng cho vị trí xuất phát đầu tiên và cuối cùng. Nói chung, với người chơi \(n\) , mọi người đều thắng \(1/n\) . Màu sắc không giúp ích gì cho mô hình công bằng. Vì chiến thắng chung cuộc sẽ theo sau:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.