Im Minispiel Bowser's Big Blast aus Mario Party 2 und Mario Party Superstars wählen die Spieler nacheinander einen Schalter. Genau ein Schalter löst eine Bombe aus, die übrigen sind sicher. Beim Start mit \(4\) Spielern gibt es \(5\) Schalter. Wer zuerst drückt, verliert mit \(20\,\%\); wer zuletzt vor nur noch \(2\) Schaltern steht, mit \(50\,\%\). Trotzdem hat der letzte Platz keine höhere Verlustwahrscheinlichkeit. Der scheinbare Widerspruch entsteht, weil wir Wahrscheinlichkeiten zu verschiedenen Zeitpunkten vergleichen.
Wir nehmen an, der Zünder ist unter den freien Schaltern gleichverteilt und nicht erkennbar. Der letzte Spieler kommt nur zum Zug, wenn die ersten \(3\) Spieler sicher gedrückt haben, die Bombe also nicht explodiert ist. Die Chance dafür beträgt \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\). In den übrigen \(60\,\%\) endet der Durchgang vorher. Multipliziert man die Chance, überhaupt dranzukommen, mit dem anschließenden Risiko, erhält man dieselben \(20\,\%\) wie für den ersten Spieler. Für die letzte Position ergibt sich damit:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Mit \(q\) bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler als Nächster ausscheidet, auch nach beliebig vielen Wiederholungen. Im ersten Durchgang gibt es drei Fälle: Mit \(1/5\) trifft es diesen Spieler. Mit \(3/5\) trifft es einen der anderen; unser Spieler scheidet dann nicht als Nächster aus. Mit \(1/5\) überleben alle und die Schalter werden zurückgesetzt. Danach ist die Situation unverändert, also beträgt die gesuchte Chance wieder \(q\). Deshalb gilt:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Nach dem nächsten Ausscheiden starten die übrigen Spieler wieder gleichberechtigt. Die Chance, bis dahin zu überleben, beträgt beim Start mit \(4\) Spielern also \(3/4\), danach mit \(3\) Spielern \(2/3\) und zuletzt mit \(2\) Spielern \(1/2\). Multipliziert man diese bedingten Überlebenschancen, erhält man für den ersten wie den letzten Startplatz \(25\,\%\) Gewinnchance. Allgemein gewinnt bei \(n\) Spielern jeder mit \(1/n\). Farben helfen im fairen Modell nicht weiter. Für den Gesamtsieg folgt:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.