Mario Party 2 ve Mario Party Superstars'ın mini oyunu Bowser's Big Blast'ta oyuncular teker teker bir düğmeyi seçiyorlar. Tam olarak bir anahtar bombayı tetikliyor, diğerleri güvende. \(4\) oyuncuyla başlarken \(5\) anahtar vardır. İlk basan \(20\,\%\) kaybeder; Yalnızca \(2\) anahtarın önünde duran son kişi \(50\,\%\) değerine sahiptir. Ancak son sıranın kaybetme ihtimali daha yüksek değil. Görünen çelişki, zamanın farklı noktalarındaki olasılıkları karşılaştırdığımız için ortaya çıkıyor.
Patlatıcının serbest anahtarlar arasında eşit olarak dağıtıldığını ve tespit edilemediğini varsayıyoruz. Son oyuncuya ancak ilk \(3\) oyuncu güvenli bir şekilde bastığında, yani bomba patlamadığında sıra gelir. Bunun olasılığı \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . Kalan \(60\,\%\) 'da tur önceden biter. Bir sıra alma şansını sonraki riskle çarparsanız, ilk oyuncuyla aynı \(20\,\%\) elde edersiniz. Bu son pozisyonla sonuçlanır:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
\(q\) ile belirli bir sayıda tekrardan sonra bile belirli bir oyuncunun elenecek bir sonraki oyuncu olma olasılığını belirtiriz. İlk turda üç durum vardır: \(1/5\) ile bu oyuncuya çarpar. \(3/5\) ile diğerlerinden birine çarpar; oyuncumuz bir sonraki aşamada elenmeyecektir. \(1/5\) ile herkes hayatta kalır ve anahtarlar sıfırlanır. Daha sonra durum değişmediğinden istenen şans yine \(q\) olur. Bu yüzden geçerli:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Bir sonraki elemenin ardından kalan oyuncular eşit şartlarda yeniden başlar. O zamana kadar hayatta kalma şansı \(4\) oyuncuyla başlarken \(3/4\) , ardından \(3\) oyuncu \(2/3\) ve son olarak \(2\) oyuncu \(1/2\) ile başlar. Bu koşullu hayatta kalma şansını çarparsanız, ilk ve son başlangıç pozisyonları için \(25\,\%\) kazanma şansı elde edersiniz. Genel olarak \(n\) oyuncu varsa \(1/n\) ile herkes kazanır. Fuar modelinde renklerin bir faydası yok. Genel zafer takip ediyor:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.