У міні-грі Bowser's Big Blast від Mario Party 2 і Mario Party Superstars гравці вибирають перемикач по одному. Рівно один перемикач спрацьовує бомбу, інші безпечні. Якщо починати з \(4\) гравців, є \(5\) перемикачі. Той, хто натисне першим, програє на \(20\,\%\) ; Остання особа, яка стоїть лише перед \(2\) перемикачами, має \(50\,\%\) . Тим не менш, останнє місце не має більшої ймовірності програшу. Очевидне протиріччя виникає через те, що ми порівнюємо ймовірності в різні моменти часу.
Ми припускаємо, що детонатор рівномірно розподілений між вільними перемикачами і не виявляється. Останній гравець отримує свою чергу, лише якщо перші \(3\) гравці безпечно натиснули, тобто бомба не вибухнула. Імовірність цього становить \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . У решті \(60\,\%\) раунд закінчується раніше. Якщо ви помножите шанс навіть отримати хід на наступний ризик, ви отримаєте те саме \(20\,\%\) що й для першого гравця. Це призводить до останньої позиції:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Через \(q\) ми позначаємо ймовірність того, що даний гравець є наступним, якого буде виключено, навіть після будь-якої кількості повторів. У першому раунді є три випадки: \(1/5\) влучає цього гравця. З \(3/5\) він влучає в одного з інших; наш гравець не буде усунений наступним. З \(1/5\) усі виживають, а перемикачі скидаються. Після цього ситуація залишається незмінною, тому бажаний шанс знову \(q\) . Тому і застосовується:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Після наступного вибуття гравці, що залишилися, починають знову на рівних. Шанс вижити до того часу становить \(3/4\) якщо почати з \(4\) гравців, потім з \(3\) гравців \(2/3\) і, нарешті, з \(2\) гравців \(1/2\) . Якщо ви помножите ці умовні шанси на виживання, ви отримаєте \(25\,\%\) шансів виграти на першій і останній стартовій позиції. Загалом, з \(n\) гравцями, кожен виграє з \(1/n\) . Кольори не допомагають у справедливій моделі. За загальною перемогою слід:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.