În mini-jocul Bowser's Big Blast de la Mario Party 2 și Mario Party Superstars, jucătorii selectează un comutator pe rând. Exact un comutator declanșează o bombă, celelalte sunt în siguranță. Când începeți cu jucători \(4\) există comutatoare \(5\) . Cine apasă primul pierde cu \(20\,\%\) ; Ultima persoană care stă în fața doar \(2\) comutatoare are \(50\,\%\) . Cu toate acestea, ultimul loc nu are o probabilitate mai mare de pierdere. Aparenta contradicție apare deoarece comparăm probabilitățile în momente diferite în timp.
Presupunem că detonatorul este distribuit uniform între comutatoarele libere și nu este detectabil. Ultimul jucător primește rândul său doar dacă primii \(3\) jucători au apăsat în siguranță, adică bomba nu a explodat. Șansa acestui lucru este \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . În restul \(60\,\%\) runda se termină în prealabil. Dacă înmulțiți șansa de a obține chiar un turn cu riscul ulterior, obțineți același \(20\,\%\) ca și pentru primul jucător. Rezultă ultima poziție:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Prin \(q\) notăm probabilitatea ca un anumit jucător să fie următorul eliminat, chiar și după orice număr de repetări. În prima rundă sunt trei cazuri: Cu \(1/5\) lovește acest jucător. Cu \(3/5\) îl lovește pe unul din ceilalți; jucătorul nostru nu va fi apoi eliminat. Cu \(1/5\) toată lumea supraviețuiește și comutatoarele sunt resetate. Ulterior situația rămâne neschimbată, deci șansa dorită este din nou \(q\) . De aceea se aplică:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
După următoarea eliminare, jucătorii rămași încep din nou în condiții egale. Șansa de a supraviețui până atunci este \(3/4\) când se începe cu \(4\) jucători, apoi cu \(3\) jucători \(2/3\) și în final cu \(2\) jucători \(1/2\) . Dacă înmulțiți aceste șanse condiționate de supraviețuire, aveți \(25\,\%\) șanse de a câștiga pentru primul și ultimul loc de start. În general, cu jucători \(n\) , toată lumea câștigă cu \(1/n\) . Culorile nu ajută la modelul târg. Căci urmează victoria generală:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.