En el minijuego Bowser's Big Blast de Mario Party 2 y Mario Party Superstars, los jugadores seleccionan un interruptor de uno en uno. Exactamente un interruptor activa una bomba, los demás están a salvo. Al comenzar con \(4\) jugadores hay \(5\) interruptores. Quien presione primero pierde por \(20\,\%\) ; La última persona parada frente a solo \(2\) interruptores tiene \(50\,\%\) . Sin embargo, el último lugar no tiene mayor probabilidad de pérdida. La aparente contradicción surge porque comparamos probabilidades en diferentes momentos.
Suponemos que el detonador está distribuido uniformemente entre los interruptores libres y no es detectable. El último jugador sólo tendrá su turno si los primeros \(3\) jugadores han presionado con seguridad, es decir, la bomba no ha explotado. La probabilidad de que esto ocurra es \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . En el \(60\,\%\) restante la ronda termina antes. Si multiplicas la posibilidad de incluso conseguir un turno por el riesgo posterior, obtienes el mismo \(20\,\%\) que para el primer jugador. Esto resulta en la última posición.:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Por \(q\) denotamos la probabilidad de que un jugador determinado sea el siguiente en ser eliminado, incluso después de cualquier número de repeticiones. En la primera ronda hay tres casos: Con \(1/5\) golpea a este jugador. Con \(3/5\) golpea a uno de los otros; nuestro jugador no será eliminado a continuación. Con \(1/5\) todos sobreviven y los interruptores se reinician. Después la situación permanece sin cambios, por lo que la probabilidad deseada vuelve a ser \(q\) . Por eso se aplica:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Después de la siguiente eliminación, los jugadores restantes comienzan de nuevo en igualdad de condiciones. La probabilidad de sobrevivir hasta entonces es \(3/4\) cuando se comienza con \(4\) jugadores, luego con \(3\) jugadores \(2/3\) y finalmente con \(2\) jugadores \(1/2\) . Si multiplicas estas posibilidades condicionales de supervivencia, obtienes \(25\,\%\) posibilidades de ganar la primera y la última posición inicial. En general, con \(n\) jugadores, todos ganan con \(1/n\) . Los colores no ayudan en el modelo justo. Para la victoria general sigue:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.