Nel minigioco Bowser's Big Blast di Mario Party 2 e Mario Party Superstars, i giocatori selezionano un interruttore uno alla volta. Esattamente un interruttore innesca una bomba, gli altri sono salvi. Quando si inizia con \(4\) giocatori ci sono \(5\) interruttori. Chi preme per primo perde di \(20\,\%\) ; L'ultima persona in piedi davanti a soli \(2\) interruttori ha \(50\,\%\) . Tuttavia, l'ultimo posto non ha una probabilità di perdita maggiore. L'apparente contraddizione nasce perché confrontiamo le probabilità in diversi momenti nel tempo.
Supponiamo che il detonatore sia distribuito uniformemente tra gli interruttori liberi e non sia rilevabile. Il turno spetta all'ultimo giocatore solo se i primi \(3\) giocatori hanno premuto con sicurezza, cioè se la bomba non è esplosa. La possibilità che ciò accada è \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) . Nel restante \(60\,\%\) il giro finisce prima. Se moltiplichi la possibilità di ottenere anche un turno per il rischio successivo, ottieni lo stesso \(20\,\%\) del primo giocatore. Ciò si traduce nell'ultima posizione:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
Con \(q\) indichiamo la probabilità che un dato giocatore sia il prossimo ad essere eliminato, anche dopo un qualsiasi numero di ripetizioni. Nel primo round ci sono tre casi: Con \(1/5\) colpisce questo giocatore. Con \(3/5\) colpisce uno degli altri; il nostro giocatore non verrà quindi eliminato successivamente. Con \(1/5\) tutti sopravvivono e gli interruttori vengono ripristinati. Successivamente la situazione rimane invariata, quindi la probabilità desiderata è nuovamente \(q\) . Ecco perché si applica:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
Dopo la successiva eliminazione, i giocatori rimasti ricominciano ad armi pari. La possibilità di sopravvivere fino ad allora è \(3/4\) quando si inizia con \(4\) giocatori, poi con \(3\) giocatori \(2/3\) e infine con \(2\) giocatori \(1/2\) . Se moltiplichi queste possibilità condizionali di sopravvivenza, ottieni \(25\,\%\) possibilità di vincere per la prima e l'ultima posizione di partenza. In generale, con \(n\) giocatori, tutti vincono con \(1/n\) . I colori non aiutano nel modello giusto. Per la vittoria assoluta segue:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.