در مینی بازی Bowser's Big Blast از Mario Party 2 و Mario Party Superstars، بازیکنان هر بار یک سوئیچ را انتخاب می کنند. دقیقاً یک سوئیچ بمب را راه اندازی می کند، بقیه ایمن هستند. هنگام شروع با بازیکنان \(4\) سوئیچ های \(5\) وجود دارد. هر کسی که اول فشار دهد با \(20\,\%\) بازنده است. آخرین فردی که در مقابل سوئیچ های \(2\) ایستاده است \(50\,\%\) دارد. با این وجود، مکان آخر احتمال از دست دادن بالاتری ندارد. تضاد ظاهری به این دلیل به وجود می آید که ما احتمالات را در مقاطع مختلف زمانی با هم مقایسه می کنیم.
ما فرض می کنیم که چاشنی به طور مساوی بین کلیدهای آزاد توزیع شده است و قابل تشخیص نیست. آخرین بازیکن فقط در صورتی نوبت به او می رسد که اولین بازیکنان \(3\) با خیال راحت فشار داده باشند، یعنی بمب منفجر نشده باشد. شانس این \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{5}=40\,\%\) است. در باقی مانده \(60\,\%\) دور از قبل به پایان می رسد. اگر شانس حتی گرفتن یک نوبت را در ریسک بعدی ضرب کنید، همان \(20\,\%\) به عنوان بازیکن اول دریافت خواهید کرد. این منجر به آخرین موقعیت می شود:
$$\frac45\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac15=20\,\%.$$
با \(q\) این احتمال را نشان می دهیم که یک بازیکن معین، بازیکن بعدی است که حذف می شود، حتی پس از هر تعداد تکرار. در دور اول سه حالت وجود دارد: با \(1/5\) به این بازیکن ضربه می زند. با \(3/5\) به یکی از بقیه ضربه می زند. بازیکن ما بعداً حذف نخواهد شد. با \(1/5\) همه زنده می مانند و سوئیچ ها بازنشانی می شوند. پس از آن وضعیت بدون تغییر باقی می ماند، بنابراین شانس مورد نظر دوباره \(q\) است. به همین دلیل اعمال می شود:
$$\begin{aligned}q&=\frac15+\frac15q,\\\frac45q&=\frac15\quad\Longrightarrow\quad q=\frac14.\end{aligned}$$
پس از حذف بعدی، بازیکنان باقی مانده دوباره با شرایط مساوی شروع می کنند. شانس زنده ماندن تا آن زمان \(3/4\) هنگام شروع با \(4\) بازیکن، سپس با \(3\) بازیکن \(2/3\) و در نهایت با \(2\) بازیکن \(1/2\) است. اگر این شانس‌های شرطی بقا را ضرب کنید، \(25\,\%\) شانس برنده شدن برای اولین و آخرین موقعیت‌های شروع را دریافت می‌کنید. به طور کلی، با \(n\) بازیکنان، همه با \(1/n\) برنده می شوند. رنگ ها در مدل منصفانه کمکی نمی کنند. برای پیروزی کلی به شرح زیر است:
$$P(\text{Sieg})=\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12=\frac14=25\,\%.$$
Bowser's Big Blast – Spiel und Wahrscheinlichkeiten von David Vielhuber auf CodePen.