Një rresht për pafundësinë e numrave të thjeshtë

Ekzistojnë prova të shumta të pafundësisë së numrave të thjeshtë - teorema e njohur e Euklidit nga Libri i Elementeve nuk mungon në asnjë kurs themelor të teorisë së numrave. Në American Mathematical Monthly (numri 122) në 2015 Sam Northshield botoi një provë jo më pak elegante kontradikte në formën e një linje, të cilën unë nuk dua ta heq nga ju (me komente të shkurtra).


$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$

Mbrapa