Egy sor a prímszámok végtelenig

A prímszámok végtelenségének számos bizonyítéka van - az Elemek könyvéből jól ismert Euclid-tétel nem hiányzik egyetlen számelméleti alapfolyamatból sem. Az amerikai matematikai havilapban (122. szám) 2015-ben Sam Northshield nem kevésbé elegáns ellentmondás-bizonyítékot tett közzé egyvonalas formában, amelyet nem akarok visszatartani önöktől (rövid megjegyzésekkel).


$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$

Vissza