素数の無限大のための1行

素数の無限大の多くの証拠があります-要素の本からのよく知られているユークリッドの定理は、基本的な数理論のコースで欠落していません。 2015年のAmericanMathematical Monthly(issue 122)で、Sam Northshieldは、1行の形式で、それほどエレガントな矛盾の証拠を公開しました。


$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$

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