Одна строка для бесконечности простых чисел

Существует множество доказательств бесконечности простых чисел - известная теорема Евклида из Книги Элементов не пропущена ни в одном базовом курсе теории чисел. В American Mathematical Monthly (выпуск 122) в 2015 году Сэм Нортшилд опубликовал не менее элегантное доказательство противоречия в виде однострочного текста, о котором я не хочу от вас утаивать (с краткими комментариями).


$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$

Назад