Existen numerosas pruebas de la infinidad de números primos: el conocido teorema de Euclides del Libro de los Elementos no falta en ningún curso básico de teoría de números. En el American Mathematical Monthly (número 122) de 2015, Sam Northshield publicó una prueba de contradicción no menos elegante en forma de una línea, que no quiero ocultarles (con breves comentarios).
$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$