Una riga per l'infinito dei numeri primi

Ci sono numerose prove dell'infinità dei numeri primi: il ben noto teorema di Euclide del Libro degli Elementi non manca in nessun corso di teoria dei numeri di base. Nell'American Mathematical Monthly (numero 122) nel 2015 Sam Northshield ha pubblicato una prova di contraddizione non meno elegante sotto forma di una riga, che non voglio trattenerti (con brevi commenti).


$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$

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