Es gibt zahlreiche Beweise der Unendlichkeit der Primzahlen – der bekannte Satz von Euklid aus dem Buch der Elemente fehlt in keiner Grundvorlesung zur Zahlentheorie. Im American Mathematical Monthly (Ausgabe 122) veröffentlichte 2015 Sam Northshield einen nicht minder eleganten Widerspruchsbeweis in Form eines Einzeilers, den ich euch (mit kurzen Anmerkungen) nicht vorenthalten will.
$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$