هناك العديد من الأدلة على اللانهاية للأعداد الأولية - نظرية إقليدس المعروفة من كتاب العناصر ليست مفقودة في أي دورة أساسية لنظرية الأعداد. في مجلة American Mathematical Monthly (العدد 122) في عام 2015 ، نشر Sam Northshield دليل تناقض لا يقل أناقة في شكل سطر واحد ، والذي لا أريد حجبه عنك (مع تعليقات موجزة).
$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$