பிரதான எண்களின் முடிவிலிக்கு ஏராளமான சான்றுகள் உள்ளன - கூறுகள் புத்தகத்திலிருந்து நன்கு அறியப்பட்ட யூக்லிட் தேற்றம் எந்த அடிப்படை எண் கோட்பாடு பாடத்திலும் இல்லை. 2015 ஆம் ஆண்டில் அமெரிக்க கணித மாத இதழில் (வெளியீடு 122) சாம் நார்த்ஷீல்ட் ஒரு லைனர் வடிவில் குறைவான நேர்த்தியான முரண்பாடு ஆதாரத்தை வெளியிட்டது, அதை நான் உங்களிடமிருந்து தடுக்க விரும்பவில்லை (சுருக்கமான கருத்துகளுடன்).
$$0 < \prod_{p} \sin \underbrace{ \left( \frac{\pi}{p} \right) }_{ < \pi, \text{ da } p > 1 } = \prod_{p} \sin \left( \frac{\pi}{p} + 2 \pi \underbrace{ \frac{ \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N} } \right) = \prod_{p} \sin \left( \pi \underbrace{ \frac{ 1 + 2 \prod_{p'} p' }{p} }_{ \in \mathbb{N}, \text{ da } \left( 1 + 2 \prod_{p'} p' \right) \notin \mathbb{P} } \right) = 0$$