Ndonjëherë, një pyetje e vetme në programin e mbrëmjes së hershme (në këtë rast nga prezantuesi i nderuar Kai Pflaume) mjafton për ta kthyer një finale të padëmshme të një kuizi në një problem të vogël optimizimi. Kjo është pikërisht ajo që ndodh në "Kush e di çfarë?". Pyetje kryesore: Kategoria dihet, përgjigjja jo ende - por rreziqet përcaktojnë tashmë se cilat rezultate janë ende të mira.
Le të marrim dy ekipe \(A\) dhe \(B\) . Përpara pyetjes së fundit, ekipi \(A\) kishte fituar shumën \(x_a\) , dhe ekipi \(B\) kishte fituar shumën \(x_b\) . Ne e shqyrtojmë rastin
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Ekipet tani po vënë bast me numra të plotë.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Nëse përgjigjja është e saktë, shuma e vënë në bast shtohet; nëse përgjigjja është e pasaktë, zbritet. Për katër rezultatet e mundshme, rezultojnë rezultatet përfundimtare si më poshtë.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Në shfaqje, një barazim çon në një pyetje vlerësimi. Prandaj, ai mbetet i dukshëm në matricë si një rast i veçantë "=". Për vlerat përqindjeje të probabilitetit të fitores, ne numërojmë fitoret direkte në katër nën-rastet me të njëjtën probabilitet. Një model si \(|A|B|A|A|\) jep tre fitore direkte për Ekipin \(A\) dhe një për Ekipin \(B\) . Një barazim nuk llogaritet si një fitore direkte për asnjërën skuadër. Ky numërim më i saktë është thelbësor; nuk mjafton thjesht të numërohet një qelizë e tërë si "blu" ose "e kuqe".
Ky model përmban një supozim: Ne i trajtojmë katër kombinimet e përgjigjeve si po aq të mundshme. Prandaj, nuk ka të bëjë me faktin nëse Ekipi \(A\) apo Ekipi \(B\) e njeh më mirë kategorinë, por vetëm me strategjinë e përdorur para se të përgjigjet.
Le të
$$
d=x_a-x_b.
$$
Atëherë \(d>0\) është avantazhi i ekipit \(A\) . Pyetja tani është: Cili është basti optimal?
Matrica e plotë e basteve të mundshme mund të llogaritet në mënyrë dinamike.:
Perspektiva e Ekipit A
Së pari shqyrtojmë kur fiton Ekipi \(A\) me shuma fikse \(y_a\) dhe \(y_b\) .
Rasti
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Gjithmonë i shkon Ekipit \(A\) , sepse
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Kjo zbatohet automatikisht sepse \(x_a>x_b\) dhe \(y_a,y_b>0\) .
Për tre rastet e tjera, marrim:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Me \(x_a=x_b+d\) kjo bëhet:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Pra,:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Metoda e numërimit tani është thelbësore. Më parë, dikush mund të tundohej të vlerësonte secilën qelizë vetëm bazuar në faktin nëse përmban më shumë raste \(A\) sesa \(B\) . Megjithatë, kjo është shumë e thjeshtë për llogaritjen e probabilitetit të fitores. Katër nën-rastet janë vetë ngjarje po aq të mundshme. Prandaj, \(|A|B|A|A|\) nuk llogaritet si një fitore e vetme për \(A\) , por më tepër si tre nën-raste të fituara për \(A\) .
Për një shumë fikse \(y_a\) të ekipit \(A\) ne i mbledhim hyrjet individuale \(A\) në të katër rastet mbi të gjitha shumat e mundshme \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Rasti " \(A\) i saktë, \(B\) i pasaktë" i shkon gjithmonë ekipit \(A\) . Kjo tashmë jep \(x_b\) nënraste të fituara.
Numrat e mëposhtëm rezultojnë për tre rastet e tjera.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Kjo do të thotë që numri i nënçështjeve të fituara nga Ekipi \(A\) është
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Probabiliteti përkatës i fitores është
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Meqenëse barazimi nuk përfshihet këtu, \(P_A\) është saktësisht probabiliteti i fitimit të drejtpërdrejtë të pyetjes kryesore (pa një pyetje vlerësimi).
Ky numërim më i saktë e zhvendos paksa optimumin krahasuar me shumicën e thjeshtë të qelizave. Për Ekipin \(A\) rezultojnë fushat e mëposhtme optimale të aplikimit.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Të gjitha bastet në këtë zonë maksimizojnë probabilitetin e fitores së Ekipit \(A\) Nëse doni të vini bast shumën më të madhe të mundshme midis basteve po aq të mira, duhet të përdorni gjithmonë skajin e djathtë të zonës.
Një shembull:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Atëherë
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Atje
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Zbatohet diapazoni optimal.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Përdorimi më i madh optimal është pra
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Qasja e vjetër e shqyrtimit të qelizave të plota do të kishte sugjeruar diapazonin \(9\leq y_a\leq 14\) . Numërimi i pjesshëm i rasteve tregon më saktë se dy vlerat kufitare \(8\) dhe \(15\) janë gjithashtu optimale.
Perspektiva e Ekipit B
Tani e shqyrtojmë të njëjtën situatë nga perspektiva e ekipit pasardhës \(B\) . Edhe këtu, nuk numërojmë më vetëm qelizat e tëra, por edhe hyrjet individuale \(B\) në katër nënrastet.
Rasti
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Ekipi \(B\) humbet gjithmonë. Në tre rastet e mbetura, Ekipi \(B\) merr numrin e mëposhtëm të nën-rasteve të fituara për një bast të caktuar \(y_b\) kur mblidhen të gjitha \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Kështu është
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
dhe probabiliteti i lidhur me të për të fituar
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Për \(y_b\leq d\) kjo thjeshtohet në
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Për \(y_b>d\) merret vetëm
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Kjo është zona optimale për Ekipin \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Ky është një korrigjim i rëndësishëm krahasuar me qasjen e shumicës së qelizave më të papërpunuara: Basti optimal për Ekipin \(B\) nuk është domosdoshmërisht unikisht \(1\) Për shembull, nëse Ekipi \(A\) është përpara me \(d=8\) dhe Ekipi \(B\) mund të vërë bast maksimumi \(22\) , atëherë të gjitha bastet për \(B\) janë optimale në lidhje me probabilitetin e fitores.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuita mbetet e ngjashme: Ekipi që vjen pas nuk duhet të vërë bast të lartë pa nevojë. Ndërsa bastet tepër të larta përmirësojnë skenarët individualë, ato përkeqësojnë të tjerët. Sapo \(y_b\) tejkalon deficitin \(d\) , ekipi \(B\) humbet një skenar në përgjithësi. Prandaj, ekipi që kryeson vë bast në një mënyrë të tillë që, në të gjitha bastet e mundshme nga kundërshtari, të fitojë sa më shumë skenarë individualë të jetë e mundur.
Ndjekësi nuk vë bast domosdoshmërisht saktësisht një euro, por maksimumi aq sa është diferenca. Pyetja kryesore është pra një shembull i mirë i asaj se sa teori lojërash përmbahet në një rregull kuizi në dukje të thjeshtë: ajo që ka rëndësi nuk është vetëm se cila qelizë përfundon blu apo e kuqe, por sa nga katër nën-rastet brenda asaj qelize fitohen në të vërtetë.