有时候，傍晚节目中一个问题（在本例中是来自备受尊敬的主持人凯·普弗劳姆的问题）就足以将一个原本无害的问答节目决赛变成一个小小的优化问题。这正是《谁知道什么？》节目中发生的事情。 主问题: 类别已定，答案尚未确定——但利害关系已经决定了哪些结果仍然是好的。
假设有两支队伍\(A\)和\(B\) 。在最后一题之前， \(A\)队赢得了\(x_a\)奖金， \(B\)队赢得了\(x_b\)奖金。我们考虑以下情况：
$$
x_a > x_b > 0.
$$
现在各队都下注整数金额。
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
如果答案正确，则加上投注金额；如果答案错误，则扣除投注金额。四种可能的结果分别对应以下最终得分。:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
在节目中，平局会导致需要进行估算的问题。因此，它在矩阵中会作为一个单独的情况“="”显示。对于获胜概率的百分比值，我们统计四个等概率子情况中的直接获胜次数。例如，模式\(|A|B|A|A|\)表示\(A\)队直接获胜三次， \(B\)队直接获胜一次。平局不计入任何一方的直接获胜次数。这种更精确的计数至关重要；简单地将整个单元格标记为“蓝色”或“红色”是不够的。
该模型包含一个假设：我们认为四种答案组合出现的可能性相等。因此，关键不在于\(A\)队或\(B\)队谁更了解类别，而只在于他们在作答前采取的策略。
我们开始吧
$$
d=x_a-x_b.
$$
那么\(d>0\)表示\(A\)队的优势。现在的问题是：最优赌注是多少？
可以动态计算所有可能的投注组合。:
A队的视角
我们首先考察当\(A\)队在固定赌注\(y_a\)和\(y_b\)获胜时的情况。
案件
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
总是判给\(A\)队，因为
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
这是自动应用的，因为\(x_a>x_b\)且\(y_a,y_b>0\) 。
对于其他三种情况，我们收到:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
当\(x_a=x_b+d\)时，这变为:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
所以:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
计数方法现在至关重要。之前，人们可能会倾向于仅根据每个单元格中\(A\)情况是否多于\(B\)情况来评估它。然而，对于计算获胜概率而言，这种方法过于简单。这四个子情况本身都是等概率事件。因此， \(|A|B|A|A|\)并不计为\(A\)一次获胜，而是计为\(A\)三个获胜子情况。
对于固定投注额\(y_a\)的\(A\)因此，我们将四种情况下所有可能的投注额\(y_b=1,2,\ldots,x_b\) \(A\)个人投注额相加。
情况“ \(A\)正确， \(B\)错误”总是判给\(A\)队。这已经产生了\(x_b\)个获胜的子案例。
其他三种情况的结果如下。:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
这意味着\(A\)队赢得的子案件数量为
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
相应的获胜概率是
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
由于这里不包括平局，因此\(P_A\)正好是直接赢得主问题的概率（没有估计问题）。
这种更精确的计数方法会使最优值与简单多数法相比略有偏移。对于\(A\)得出以下最优应用区域。:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
该区域内的所有投注都能最大程度地提高\(A\)队的获胜概率。如果您想在同等好的投注选项中下注最大金额，则应始终选择该区域的右侧边缘。
一个例子:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
然后
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
那里
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
适用最佳范围。
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
因此，最佳利用方式是
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
以往考虑整个细胞的方法会得出范围\(9\leq y_a\leq 14\) 。部分案例计数更精确地表明，两个边界值\(8\)和\(15\)也是最优的。
B队的视角
现在我们从落后队伍\(B\)的角度考虑同样的情况。同样，我们不再只计算整个单元格，而是计算四个子案例中各个\(B\)条目。
案件
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
\(B\)队总是输。在剩下的三种情况下，对于固定赌注\(y_b\)当对所有可能的\(y_a=1,2,\ldots,x_a\)求和时， \(B\)队获得的获胜子情况数量如下。:
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
也是
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
以及相关的获胜概率
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
对于\(y_b\leq d\)这可以简化为
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
对于\(y_b>d\)仅得到
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
这是\(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
与较为粗糙的单元格多数方法相比，这是一个重要的修正： \(B\)队的最佳投注额不一定是唯一的\(1\)例如，如果\(A\)队领先， \(d=8\) ，而\(B\)队最多可以投注\(22\) ，那么\(B\)队的所有投注额就获胜概率而言都是最优的。:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
直觉依然类似：落后一方不应下注过高。虽然过高的赌注可以改善个别情况，但会损害其他情况。一旦\(y_b\)超过亏损\(d\) ， \(B\)队就会输掉该情况。因此，领先一方的下注策略是，在对手所有可能的下注中，尽可能赢得尽可能多的个别情况。
追击者不一定非要下注一欧元，最多也只是下注差额。因此，这个核心问题很好地体现了看似简单的问答规则中蕴含的博弈论知识：重要的不仅是哪个单元格最终变成蓝色或红色，而是该单元格内的四个子情况中，实际获胜的次数是多少。