Bazen akşam programında sorulan tek bir soru (bu durumda saygıdeğer sunucu Kai Pflaume'den) zararsız bir bilgi yarışması finalini küçük bir optimizasyon problemine dönüştürmeye yeter. "Kim Ne Bilir?" programında da tam olarak bu oluyor. Ana soru: Kategori biliniyor, cevap henüz belli değil – ancak riskler, hangi sonuçların hala iyi olduğunu şimdiden belirliyor.
İki takım ele alalım \(A\) ve \(B\) Son sorudan önce \(A\) takımı \(x_a\) miktarını, \(B\) takımı ise \(x_b\) miktarını kazanmıştı. Şu durumu inceleyelim:
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Takımlar artık tam sayılar üzerinden bahis oynuyorlar.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Cevap doğruysa, yatırılan miktar eklenir; cevap yanlışsa, çıkarılır. Dört olası sonuç için aşağıdaki nihai puanlar elde edilir.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Dizide, beraberlik bir tahmin sorusuna yol açar. Bu nedenle, matriste ayrı bir durum olarak görünür kalır. Kazanma olasılığının yüzdesel değerleri için, eşit olasılıklı dört alt durumda doğrudan galibiyetleri sayıyoruz. \(|A|B|A|A|\) gibi bir örüntü \(A\) Takımı için üç, \(B\) Takımı için ise bir doğrudan galibiyet anlamına gelir. Beraberlik, her iki takım için de doğrudan galibiyet olarak sayılmaz. Bu daha hassas sayım çok önemlidir; bir hücrenin tamamını "mavi" veya "kırmızı" olarak saymak yeterli değildir.
Bu model bir varsayım içeriyor: Dört cevap kombinasyonunu eşit olasılıklı olarak ele alıyoruz. Bu nedenle, mesele \(A\) Takımının mı yoksa \(B\) Takımının mı kategoriyi daha iyi bildiği değil, yalnızca cevap vermeden önce uygulanan stratejidir.
Hadi
$$
d=x_a-x_b.
$$
O halde \(d>0\) \(A\) takımının avantajıdır. Şimdi soru şu: En uygun bahis miktarı nedir?
Olası bahislerin tam matrisi dinamik olarak hesaplanabilir.:
A Takımının bakış açısı
Öncelikle, sabit bahis miktarları \(y_a\) ve \(y_b\) ile \(A\) Takımının ne zaman kazandığını inceliyoruz.
Dava
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Her zaman \(A\) Takımı kazanır, çünkü
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Bu \(x_a>x_b\) ve \(y_a,y_b>0\) olduğundan otomatik olarak geçerlidir.
Diğer üç durumda ise şunları alıyoruz::
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\) ile bu şu hale gelir::
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Bu yüzden:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Sayma yöntemi artık çok önemli. Daha önce, her hücreyi yalnızca \(A\) vakalarının \(B\) vakalarından daha fazla olup olmadığına göre değerlendirmek cazip gelebilirdi. Ancak bu, kazanma olasılığını hesaplamak için çok basittir. Dört alt vaka kendi başlarına eşit olasılıklı olaylardır. Bu nedenle, \(|A|B|A|A|\) \(A\) için tek bir kazanma olarak değil, \(A\) için kazanılmış üç alt vaka olarak sayılır.
\(A\) takımının sabit bir bahsi olan \(y_a\) için, bu nedenle dört durumdaki bireysel \(A\) girişlerini tüm olası bahisler \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) üzerinden toplarız.
" \(A\) doğru, \(B\) yanlış" vakası her zaman \(A\) takımına gider. Bu zaten \(x_b\) kazanılmış alt vaka anlamına gelir.
Diğer üç durum için elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Bu \(A\) Takımının kazandığı alt dava sayısının şu anlama geldiği demektir:
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Kazanma olasılığı ise şöyledir:
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Beraberlik durumu burada dikkate alınmadığından, \(P_A\) tam olarak ana soruyu doğrudan (tahmin sorusu olmadan) kazanma olasılığıdır.
Bu daha hassas sayım, hücrelerin basit çoğunluğuna kıyasla optimum noktayı biraz kaydırır. \(A\) Takımı için aşağıdaki optimum uygulama alanları elde edilir.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Bu alandaki tüm bahisler, \(A\) Takımının kazanma olasılığını en üst düzeye çıkarır. Eşit derecede iyi bahisler arasında mümkün olan en büyük miktarı yatırmak istiyorsanız, her zaman alanın sağ kenarını kullanmalısınız.
Bir örnek:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Sonra
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Orada
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
En uygun aralık geçerlidir.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Bu nedenle en verimli kullanım şekli şudur:
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Tüm hücreleri dikkate alan eski yaklaşım, \(9\leq y_a\leq 14\) aralığını önermişti. Kısmi vaka sayımı, iki sınır değerinin \(8\) ve \(15\) in de optimal olduğunu daha kesin olarak göstermektedir.
B Takımının bakış açısı
Şimdi aynı durumu takip eden takım \(B\) 'nin bakış açısından ele alalım. Burada da artık sadece tüm hücreleri değil, dört alt durumdaki bireysel \(B\) girdilerini sayıyoruz.
Dava
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
\(B\) Takımı her zaman kaybeder. Kalan üç durumda, \(B\) Takımı, tüm olası \(y_a=1,2,\ldots,x_a\) üzerinden toplama yapıldığında, sabit bir \(y_b\) bahsi için aşağıdaki sayıda kazanılmış alt durum elde eder.:
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Öyle
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
ve kazanma olasılığı
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\) için bu, sadeleşerek şu hale gelir:
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\) için yalnızca şu sonuç elde edilir:
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Bu \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Bu, daha kaba hücre çoğunluğu yaklaşımına kıyasla önemli bir düzeltmedir: \(B\) Takımı için en uygun bahis mutlaka tek başına \(1\) değildir. Örneğin, \(A\) Takımı \(d=8\) ile öndeyse ve \(B\) Takımı en fazla \(22\) bahis yapabiliyorsa, \(B\) için tüm bahisler kazanma olasılığı açısından en uygun bahislerdir.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Temel mantık aynı kalır: Geride kalan takım gereksiz yere yüksek bahis yapmamalıdır. Aşırı yüksek bahisler bazı senaryoları iyileştirirken, diğerlerini kötüleştirir. \(y_b\) , \(d\) açığını aştığı anda, \(B\) takımı genel olarak bir senaryoyu kaybeder. Bu nedenle, önde olan takım, rakibin yapabileceği tüm olası bahisler arasında mümkün olduğunca çok sayıda bireysel senaryoyu kazanacak şekilde bahis yapar.
Takip eden oyuncu mutlaka tam olarak bir euro bahis yapmaz, en fazla açığı karşılayacak kadar bahis yapar. Bu nedenle ana soru, görünüşte basit bir bilgi yarışması kuralında ne kadar oyun teorisi bulunduğunun iyi bir örneğidir: Önemli olan sadece hangi hücrenin mavi veya kırmızı olacağı değil, o hücre içindeki dört alt durumdan kaçının gerçekten kazanıldığıdır.