Μερικές φορές, μια και μόνο ερώτηση στο πρόγραμμα νωρίς το βράδυ (στην προκειμένη περίπτωση από τον αξιοσέβαστο παρουσιαστή Kai Pflaume) είναι αρκετή για να μετατρέψει ένα ακίνδυνο φινάλε ενός κουίζ σε ένα μικρό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Αυτό ακριβώς συμβαίνει στο "Who Knows What?". Κύρια ερώτηση: Η κατηγορία είναι γνωστή, η απάντηση όχι ακόμη - αλλά τα διακυβεύματα καθορίζουν ήδη ποια αποτελέσματα είναι ακόμα καλά.
Ας πάρουμε δύο ομάδες \(A\) και \(B\) . Πριν από την τελική ερώτηση, η ομάδα \(A\) είχε κερδίσει το ποσό \(x_a\) και η ομάδα \(B\) είχε κερδίσει το ποσό \(x_b\) . Εξετάζουμε την περίπτωση
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Οι ομάδες ποντάρουν τώρα σε ακέραιους αριθμούς.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Εάν η απάντηση είναι σωστή, προστίθεται το ποσό που ποντάρεται. Εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, αφαιρείται. Για τα τέσσερα πιθανά αποτελέσματα, προκύπτουν οι ακόλουθες τελικές βαθμολογίες.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Στην εκπομπή, μια ισοπαλία οδηγεί σε μια ερώτηση εκτίμησης. Επομένως, παραμένει ορατή στον πίνακα ως ξεχωριστή περίπτωση "=". Για τις ποσοστιαίες τιμές της πιθανότητας νίκης, μετράμε τις άμεσες νίκες στις τέσσερις εξίσου πιθανές υποπεριπτώσεις. Ένα μοτίβο όπως \(|A|B|A|A|\) αποδίδει τρεις άμεσες νίκες για την Ομάδα \(A\) και μία για την Ομάδα \(B\) . Μια ισοπαλία δεν μετράει ως άμεση νίκη για καμία ομάδα. Αυτή η πιο ακριβής μέτρηση είναι κρίσιμη. Δεν αρκεί να μετρήσουμε απλώς ένα ολόκληρο κελί ως "μπλε" ή "κόκκινο".
Αυτό το μοντέλο περιέχει μια υπόθεση: Αντιμετωπίζουμε τους τέσσερις συνδυασμούς απαντήσεων ως εξίσου πιθανούς. Επομένως, δεν έχει σημασία αν η Ομάδα \(A\) ή η Ομάδα \(B\) γνωρίζει καλύτερα την κατηγορία, αλλά μόνο η στρατηγική που χρησιμοποιείται πριν απαντήσει.
Ας
$$
d=x_a-x_b.
$$
Τότε \(d>0\) είναι το πλεονέκτημα της ομάδας \(A\) . Το ερώτημα τώρα είναι: Ποιο είναι το βέλτιστο ποντάρισμα;
Ο πλήρης πίνακας των πιθανών στοιχημάτων μπορεί να υπολογιστεί δυναμικά.:
Η οπτική της ομάδας Α
Αρχικά εξετάζουμε πότε η Ομάδα \(A\) κερδίζει με σταθερά πονταρίσματα \(y_a\) και \(y_b\) .
Η υπόθεση
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Πάντα πηγαίνει στην Ομάδα \(A\) , επειδή
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Αυτό ισχύει αυτόματα επειδή \(x_a>x_b\) και \(y_a,y_b>0\) .
Για τις άλλες τρεις περιπτώσεις, λαμβάνουμε:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Με \(x_a=x_b+d\) αυτό γίνεται:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Ετσι:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Η μέθοδος μέτρησης είναι πλέον κρίσιμη. Προηγουμένως, κάποιος θα μπορούσε να μπει στον πειρασμό να αξιολογήσει κάθε κελί αποκλειστικά με βάση το αν περιέχει περισσότερες \(A\) περιπτώσεις από \(B\) . Ωστόσο, αυτό είναι πολύ απλοϊκό για τον υπολογισμό της πιθανότητας νίκης. Οι τέσσερις υποπεριπτώσεις είναι οι ίδιες εξίσου πιθανά γεγονότα. Επομένως, \(|A|B|A|A|\) δεν μετράει ως μία νίκη για \(A\) , αλλά μάλλον ως τρεις κερδισμένες υποπεριπτώσεις για \(A\) .
Για ένα σταθερό ποντάρισμα \(y_a\) της ομάδας \(A\) αθροίζουμε επομένως τις μεμονωμένες \(A\) καταχωρήσεις στις τέσσερις περιπτώσεις σε όλα τα πιθανά πονταρίσματα \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Η περίπτωση " \(A\) σωστή, \(B\) λανθασμένη" πηγαίνει πάντα στην ομάδα \(A\) . Αυτό ήδη αποδίδει \(x_b\) κερδισμένες υποπεριπτώσεις.
Οι ακόλουθοι αριθμοί προκύπτουν για τις τρεις άλλες περιπτώσεις.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των υποπεριπτώσεων που κέρδισε η Ομάδα \(A\) είναι
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Η αντίστοιχη πιθανότητα νίκης είναι
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Δεδομένου ότι η ισοπαλία δεν περιλαμβάνεται εδώ, \(P_A\) είναι ακριβώς η πιθανότητα να κερδίσει κανείς άμεσα την κύρια ερώτηση (χωρίς ερώτηση εκτίμησης).
Αυτή η ακριβέστερη μέτρηση μετατοπίζει ελαφρώς το βέλτιστο σε σύγκριση με την απλή πλειοψηφία των κελιών. Για την Ομάδα \(A\) προκύπτουν οι ακόλουθες βέλτιστες περιοχές εφαρμογής.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Όλα τα στοιχήματα σε αυτήν την περιοχή μεγιστοποιούν την πιθανότητα νίκης της Ομάδας \(A\) . Αν θέλετε να στοιχηματίσετε το μεγαλύτερο δυνατό ποσό μεταξύ των εξίσου καλών στοιχημάτων, θα πρέπει πάντα να χρησιμοποιείτε το δεξί άκρο της περιοχής.
Ένα παράδειγμα:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Τότε
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Εκεί
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Ισχύει το βέλτιστο εύρος.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Η μέγιστη βέλτιστη χρήση είναι επομένως
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Η παλιά προσέγγιση, η οποία έθετε σε εξέταση ολόκληρα κελιά, θα υποδήλωνε το εύρος \(9\leq y_a\leq 14\) . Η μερική καταμέτρηση περιπτώσεων δείχνει με μεγαλύτερη ακρίβεια ότι οι δύο οριακές τιμές \(8\) και \(15\) είναι επίσης βέλτιστες.
Η οπτική γωνία της ομάδας Β
Τώρα εξετάζουμε την ίδια κατάσταση από την οπτική γωνία της επόμενης ομάδας \(B\) . Και εδώ, δεν μετράμε πλέον μόνο ολόκληρα κελιά, αλλά τις μεμονωμένες \(B\) καταχωρήσεις στις τέσσερις υποπεριπτώσεις.
Η υπόθεση
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Η ομάδα \(B\) χάνει πάντα. Στις τρεις υπόλοιπες περιπτώσεις, η ομάδα \(B\) λαμβάνει τον ακόλουθο αριθμό κερδισμένων υποπεριπτώσεων για ένα σταθερό ποντάρισμα \(y_b\) όταν αθροίζονται όλα τα πιθανά \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Έτσι είναι
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
και η σχετική πιθανότητα νίκης
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Για \(y_b\leq d\) αυτό απλοποιείται σε
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Για \(y_b>d\) παίρνουμε μόνο
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Αυτή είναι η βέλτιστη περιοχή για την Ομάδα \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Αυτή είναι μια σημαντική διόρθωση σε σύγκριση με την προσέγγιση πλειοψηφίας κελιών με πιο ακατέργαστο τρόπο: Το βέλτιστο ποντάρισμα για την Ομάδα \(B\) δεν είναι απαραίτητα μοναδικά \(1\) Για παράδειγμα, εάν η Ομάδα \(A\) προηγείται με \(d=8\) και η Ομάδα \(B\) μπορεί να ποντάρει το πολύ \(22\) , τότε όλα τα στοιχήματα για την \(B\) είναι βέλτιστα σε σχέση με την πιθανότητα νίκης.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Η διαίσθηση παραμένει παρόμοια: Η ομάδα που ακολουθεί δεν πρέπει να στοιχηματίζει άσκοπα υψηλά. Ενώ τα υπερβολικά υψηλά στοιχήματα βελτιώνουν μεμονωμένα σενάρια, επιδεινώνουν άλλα. Μόλις \(y_b\) υπερβεί το έλλειμμα \(d\) , η ομάδα \(B\) χάνει ένα σενάριο συνολικά. Επομένως, η ομάδα που προηγείται στοιχηματίζει με τέτοιο τρόπο ώστε, σε όλα τα πιθανά στοιχήματα του αντιπάλου, να κερδίζει όσο το δυνατόν περισσότερα μεμονωμένα σενάρια.
Ο διώκτης δεν ποντάρει απαραίτητα ακριβώς ένα ευρώ, αλλά το πολύ όσο το έλλειμμα. Η κύρια ερώτηση είναι επομένως ένα καλό παράδειγμα του πόσο θεωρία παιγνίων περιέχεται σε έναν φαινομενικά απλό κανόνα κουίζ: αυτό που έχει σημασία δεν είναι μόνο ποιο κελί καταλήγει μπλε ή κόκκινο, αλλά πόσες από τις τέσσερις υποπεριπτώσεις μέσα σε αυτό το κελί κερδίζονται στην πραγματικότητα.