சில நேரங்களில், மாலை நேர நிகழ்ச்சியில் கேட்கப்படும் ஒரே ஒரு கேள்வி (இந்த நிகழ்வில் மதிப்பிற்குரிய தொகுப்பாளர் கை பிஃப்ளாம் கேட்டது), ஒரு பாதிப்பில்லாத வினாடி வினா நிகழ்ச்சியின் இறுதிப் பகுதியை ஒரு சிறிய உகப்பாக்கச் சிக்கலாக மாற்றுவதற்குப் போதுமானதாக இருக்கிறது. "ஹூ நோஸ் வாட்?" நிகழ்ச்சியில் சரியாக இதுதான் நடக்கிறது. முதன்மை கேள்வி: பிரிவு அறியப்பட்டுள்ளது, பதில் இன்னும் தெரியவில்லை – ஆனால், எந்த முடிவுகள் இன்னும் நல்லவை என்பதைப் பந்தயம் ஏற்கெனவே தீர்மானித்துவிட்டது.
\(A\) மற்றும் \(B\) என இரண்டு அணிகளை எடுத்துக்கொள்வோம். இறுதிக் கேள்விக்கு முன்பு, \(A\) அணி \(x_a\) தொகையையும், \(B\) அணி \(x_b\) தொகையையும் வென்றிருந்தன. நாம் இந்த நேர்வைக் கருத்தில் கொள்கிறோம்.
$$
x_a > x_b > 0.
$$
அணிகள் இப்போது முழு எண்களில் பந்தயம் கட்டுகின்றன.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
விடை சரியாக இருந்தால், பந்தயம் கட்டப்பட்ட தொகை சேர்க்கப்படும்; விடை தவறாக இருந்தால், அது கழிக்கப்படும். சாத்தியமான நான்கு முடிவுகளுக்கும், பின்வரும் இறுதி மதிப்பெண்கள் கிடைக்கும்.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
இந்த நிகழ்ச்சியில், ஒரு சமநிலை ஒரு மதிப்பீட்டுக் கேள்விக்கு வழிவகுக்கிறது. எனவே, அது அணிவரிசையில் "=" என்ற ஒரு தனி நிகழ்வாகத் தெரியும். வெற்றி நிகழ்தகவின் சதவீத மதிப்புகளுக்கு, சம நிகழ்தகவுள்ள நான்கு துணை நிகழ்வுகளில் நேரடி வெற்றிகளைக் கணக்கிடுகிறோம். \(|A|B|A|A|\) போன்ற ஒரு அமைப்பு, அணி \(A\) -க்கு மூன்று நேரடி வெற்றிகளையும், அணி \(B\) க்கு ஒன்றையும் அளிக்கிறது. ஒரு சமநிலை எந்த அணிக்கும் நேரடி வெற்றியாகக் கணக்கிடப்படாது. இந்த மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடு மிக முக்கியமானது; ஒரு முழு கலத்தையும் வெறுமனே "நீலம்" அல்லது "சிவப்பு" என்று கணக்கிடுவது போதுமானதல்ல.
இந்த மாதிரியில் ஒரு அனுமானம் உள்ளது: நான்கு பதில் சேர்க்கைகளையும் நாம் சம நிகழ்தகவு கொண்டவையாகக் கருதுகிறோம். எனவே, இது குழு \(A\) அல்லது குழு \(B\) அந்தப் பிரிவு பற்றி எது சிறப்பாகத் தெரியும் என்பதைப் பற்றியது அல்ல, மாறாக பதிலளிப்பதற்கு முன் கையாளப்பட்ட உத்தியைப் பற்றியது மட்டுமே.
வாருங்கள்
$$
d=x_a-x_b.
$$
அப்படியானால் \(d>0\) என்பது அணி \(A\) இன் சாதகம் ஆகும். இப்போது கேள்வி என்னவென்றால்: உகந்த பந்தயம் என்ன?
சாத்தியமான பந்தயங்களின் முழுமையான அணிவரிசையை மாறும் தன்மையுடன் கணக்கிட முடியும்.:
அணி A-யின் கண்ணோட்டம்
முதலில், நிலையான பந்தயத் தொகைகளான \(y_a\) மற்றும் \(y_b\) இருக்கும்போது, அணி \(A\) எப்போது வெற்றி பெறுகிறது என்பதை ஆராய்வோம்.
வழக்கு
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
அது எப்போதும் அணி \(A\) க்கே செல்கிறது, ஏனென்றால்
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
\(x_a>x_b\) மற்றும் \(y_a,y_b>0\) என்பதால் இது தானாகவே பொருந்தும்.
மற்ற மூன்று நிகழ்வுகளுக்கு, நாம் பெறுகிறோம்:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\) எனும்போது இது ஆகிறது:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
எனவே:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
இப்போது கணக்கிடும் முறை மிகவும் முக்கியமானது. முன்பு, ஒவ்வொரு கலத்திலும் \ \(B\) ஐ விட \(A\) நிகழ்வுகள் அதிகமாக உள்ளதா என்பதை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டு அதை மதிப்பிட ஒருவர் தூண்டப்படலாம். இருப்பினும், வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு இது மிகவும் எளிமையானதாகும். நான்கு துணை நிகழ்வுகளும் சம நிகழ்தகவு கொண்ட நிகழ்வுகளாகும். எனவே, \(|A|B|A|A|\) \(A\) க்கான ஒரு தனி வெற்றியாகக் கணக்கிடப்படாது, மாறாக \(A\) க்கான மூன்று வெற்றி பெற்ற துணை நிகழ்வுகளாகக் கணக்கிடப்படும்.
எனவே \(A\) இன் ஒரு நிலையான பங்கு \(y_a\) -க்கு, நான்கு நேர்வுகளிலும் உள்ள தனிப்பட்ட \(A\) பதிவுகளை, சாத்தியமான அனைத்து பங்குகளுக்கும் \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) கூட்டுகிறோம்.
" \(A\) சரி, \(B\) தவறு" என்ற நேர்வு எப்போதும் \(A\) அணிக்கே சாதகமாக அமையும். இது ஏற்கெனவே \(x_b\) வென்ற துணை நேர்வுகளைத் தருகிறது.
மற்ற மூன்று நிகழ்வுகளுக்கான முடிவுகள் பின்வருமாறு.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
இதன் பொருள், அணி \(A\) வென்ற துணை வழக்குகளின் எண்ணிக்கை
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
வெற்றி பெறுவதற்கான தொடர்புடைய நிகழ்தகவு
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
இதில் சமநிலை சேர்க்கப்படாததால், \(P_A\) என்பது (மதிப்பீட்டுக் கேள்வி இல்லாமல்) முதன்மைக் கேள்வியில் நேரடியாக வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு ஆகும்.
பெரும்பாலான கலங்களுடன் ஒப்பிடும்போது, இந்த மிகவும் துல்லியமான கணக்கீடு உகந்த அளவைச் சற்றே மாற்றுகிறது. குழு \(A\) பின்வரும் உகந்த பயன்பாட்டுப் பகுதிகள் கிடைக்கின்றன.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
இந்தப் பகுதியில் உள்ள அனைத்து பந்தயங்களும் அணி \(A\) வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவை அதிகரிக்கின்றன. சமமான நல்ல பந்தயங்களில் இருந்து சாத்தியமான மிகப்பெரிய தொகையை நீங்கள் பந்தயம் கட்ட விரும்பினால், நீங்கள் எப்போதும் அந்தப் பகுதியின் வலது ஓரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
ஒரு உதாரணம்:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
பிறகு
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
அங்கே
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
உகந்த வரம்பு பொருந்தும்.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
எனவே, மிகச்சிறந்த உகந்த பயன்பாடு என்பது
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
முழு செல்களைக் கருத்தில் கொள்ளும் பழைய அணுகுமுறை \(9\leq y_a\leq 14\) என்ற வரம்பைப் பரிந்துரைத்திருக்கும். பகுதி வழக்கு எண்ணிக்கை, இரண்டு எல்லை மதிப்புகளான \(8\) மற்றும் \(15\) ஆகியவையும் உகந்தவை என்பதை மிகவும் துல்லியமாகக் காட்டுகிறது.
அணி B-யின் கண்ணோட்டம்
இப்போது நாம் அதே சூழ்நிலையை பின்தங்கிய அணி \(B\) இன் கண்ணோட்டத்தில் கருத்தில் கொள்கிறோம். இங்கும், நாம் இனி முழு கலங்களை மட்டும் கணக்கிடாமல், நான்கு துணை நேர்வுகளில் உள்ள தனிப்பட்ட \(B\) உள்ளீடுகளையும் கணக்கிடுகிறோம்.
வழக்கு
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
அணி \(B\) எப்போதும் தோற்கிறது. மீதமுள்ள மூன்று நேர்வுகளில், சாத்தியமான அனைத்து \(y_a=1,2,\ldots,x_a\) மதிப்புகளையும் கூட்டும்போது, ஒரு நிலையான பங்குத்தொகையான \(y_b\) க்கு அணி \(B\) பின்வரும் எண்ணிக்கையிலான வென்ற துணை நேர்வுகளைப் பெறுகிறது.:
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
அப்படித்தான்
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய வெற்றி நிகழ்தகவு
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\) எனில், இது எளிமையாக்கப்பட்டு
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\) எனில், கிடைப்பது
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
இது அணி \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
மிகவும் எளிமையான செல் மெஜாரிட்டி அணுகுமுறையுடன் ஒப்பிடும்போது இது ஒரு முக்கியமான திருத்தம்: டீம் \(B\) க்கான உகந்த பந்தயம் என்பது பிரத்தியேகமாக \(1\) இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. உதாரணமாக, \(d=8\) உடன் டீம் \(A\) முன்னிலையில் இருந்து, டீம் \(B\) அதிகபட்சமாக \(22\) பந்தயம் கட்ட முடிந்தால், வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவைப் பொறுத்தவரை \(B\) க்கான அனைத்து பந்தயங்களும் உகந்தவையாகும்.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
அடிப்படை கருத்து மாறாமல் அப்படியே இருக்கிறது: பின்தங்கியிருக்கும் அணி தேவையற்ற அளவுக்கு அதிகமாகப் பந்தயம் கட்டக்கூடாது. மிக அதிகமான பந்தயங்கள் சில சூழ்நிலைகளை மேம்படுத்தினாலும், மற்றவற்றை மோசமாக்குகின்றன. \(y_b\) பற்றாக்குறை \(d\) தாண்டியவுடன், \(B\) அணி ஒட்டுமொத்தமாக ஒரு சூழ்நிலையில் தோற்றுவிடுகிறது. எனவே, முன்னணியில் இருக்கும் அணி, எதிரணியின் சாத்தியமான அனைத்து பந்தயங்களையும் கடந்து, தங்களால் இயன்றவரை அதிக தனிப்பட்ட சூழ்நிலைகளில் வெற்றிபெறும் வகையில் பந்தயம் கட்டுகிறது.
துரத்துபவர் ஒரு யூரோவை மட்டுமே பந்தயம் கட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் அதிகபட்சமாக பற்றாக்குறைத் தொகைக்குச் சமமாக இருக்கலாம். எனவே, வெளிப்படையாக எளிமையானதாகத் தோன்றும் ஒரு வினாடி வினா விதியில் எவ்வளவு விளையாட்டுக் கோட்பாடு அடங்கியுள்ளது என்பதற்கு முதன்மைக் கேள்வி ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டாகும்: எந்தக் கட்டம் நீலமாகவோ அல்லது சிவப்பாகவோ முடிகிறது என்பது மட்டுமல்ல, அந்தக் கட்டத்திற்குள் உள்ள நான்கு துணை நிகழ்வுகளில் எத்தனை உண்மையில் வெல்லப்படுகின்றன என்பதே முக்கியம்.