Iafoje ununura demando en la fruvespera programo (en ĉi tiu kazo de la estimata prezentisto Kai Pflaume) sufiĉas por transformi sendanĝeran kvizfinalon en negravan optimumigan problemon. Tio estas ĝuste kio okazas en "Kiu Scias Kion?". Majstra demando: La kategorio estas konata, la respondo ankoraŭ ne - sed la riskoj jam determinas, kiuj rezultoj estas ankoraŭ bonaj.
Ni prenu du teamojn \(A\) kaj \(B\) . Antaŭ la fina demando, teamo \(A\) gajnis la sumon \(x_a\) , kaj teamo \(B\) gajnis la sumon \(x_b\) . Ni konsideras la kazon
$$
x_a > x_b > 0.
$$
La teamoj nun vetas je entjeroj.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Se la respondo estas ĝusta, la vetita sumo estas aldonita; se la respondo estas malĝusta, ĝi estas subtrahata. Por la kvar eblaj rezultoj, rezultas la jenaj finaj poentaroj.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
En la programo, egaleco kondukas al taksodemando. Tial, ĝi restas videbla en la matrico kiel aparta kazo "=". Por la procentaj valoroj de la venkoprobablo, ni kalkulas rektajn venkojn en la kvar same probablaj subkazoj. Ŝablono kiel \(|A|B|A|A|\) donas tri rektajn venkojn por Teamo \(A\) kaj unu por Teamo \(B\) . Egaleco ne kalkulas kiel rekta venko por ambaŭ teamoj. Ĉi tiu pli preciza kalkulado estas decida; ne sufiĉas simple kalkuli tutan ĉelon kiel "bluan" aŭ "ruĝan".
Ĉi tiu modelo enhavas supozon: Ni traktas la kvar respondkombinojn kiel same verŝajnajn. Tial, ne temas pri tio, ĉu Teamo \(A\) aŭ Teamo \(B\) konas la kategorion pli bone, sed nur pri la strategio uzata antaŭ ol respondi.
Ni
$$
d=x_a-x_b.
$$
Tiam \(d>0\) estas la avantaĝo de teamo \(A\) . La demando nun estas: Kio estas la optimuma veto?
La kompleta matrico de eblaj vetoj povas esti kalkulita dinamike.:
La perspektivo de Teamo A
Ni unue ekzamenas kiam Teamo \(A\) venkas kun fiksaj vetoj \(y_a\) kaj \(y_b\) .
La kazo
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Ĝi ĉiam iras al Teamo \(A\) , ĉar
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Ĉi tio validas aŭtomate ĉar \(x_a>x_b\) kaj \(y_a,y_b>0\) .
Por la aliaj tri kazoj, ni ricevas:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Kun \(x_a=x_b+d\) ĉi tio fariĝas:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Do:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
La kalkula metodo nun estas decida. Antaŭe, oni eble estis tentata taksi ĉiun ĉelon nur surbaze de ĉu ĝi enhavas pli da \(A\) kazoj ol \(B\) . Tamen, tio estas tro simpla por kalkuli la probablecon de venko. La kvar subkazoj mem estas same probablaj eventoj. Tial, \(|A|B|A|A|\) ne kalkulas kiel unuopa venko por \(A\) , sed prefere kiel tri gajnitaj subkazoj por \(A\) .
Por fiksa veto \(y_a\) de teamo \(A\) ni do sumigas la individuajn \(A\) erojn en la kvar kazoj super ĉiuj eblaj vetoj \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
La kazo " \(A\) ĝusta, \(B\) malĝusta" ĉiam iras al teamo \(A\) . Tio jam donas \(x_b\) gajnitajn subkazojn.
La jenaj nombroj rezultas por la tri aliaj kazoj.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Tio signifas, ke la nombro da subkazoj gajnitaj de Teamo \(A\) estas
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
La koresponda probableco de venko estas
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Ĉar egaleco ne estas inkludita ĉi tie, \(P_A\) estas ĝuste la probableco gajni la ĉefan demandon rekte (sen taksodemando).
Tiu pli preciza kalkulado iomete ŝovas la optimumon kompare kun la simpla plimulto de ĉeloj. Por Teamo \(A\) rezultas la jenaj optimumaj aplikaj areoj.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Ĉiuj vetoj en ĉi tiu areo maksimumigas la probablecon de venko de Teamo \(A\) Se vi volas veti la plej grandan eblan sumon inter la same bonaj vetoj, vi ĉiam uzu la dekstran randon de la areo.
Ekzemplo:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Tiam
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Tie
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
La optimuma intervalo validas.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
La plej bona optimuma uzo estas tial
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
La malnova aliro konsideri tutajn ĉelojn sugestus la intervalon \(9\leq y_a\leq 14\) . La parta kazkalkulo montras pli precize, ke la du randvaloroj \(8\) kaj \(15\) ankaŭ estas optimumaj.
La perspektivo de Teamo B
Nun ni konsideras la saman situacion el la perspektivo de la malantaŭa teamo \(B\) . Ankaŭ ĉi tie, ni jam ne kalkulas nur tutajn ĉelojn, sed la individuajn \(B\) erojn en la kvar subkazoj.
La kazo
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Teamo \(B\) ĉiam malvenkas. En la tri ceteraj kazoj, Teamo \(B\) ricevas la jenan nombron da gajnitaj subkazoj por fiksa veto \(y_b\) kiam oni sumigas ĉiujn eblajn \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Tiel estas
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
kaj la rilata probableco de venko
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Por \(y_b\leq d\) ĉi tio simpligas al
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Por \(y_b>d\) oni nur ricevas
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Ĉi tiu estas la optimuma areo por Teamo \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Jen grava korekto kompare kun la pli kruda ĉelplimulta aliro: La optimuma veto por Teamo \(B\) ne nepre estas unike \(1\) Ekzemple, se Teamo \(A\) estas antaŭe kun \(d=8\) kaj Teamo \(B\) povas veti maksimume \(22\) , tiam ĉiuj vetoj por \(B\) estas optimumaj rilate al la probableco de venko.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
La intuicio restas simila: La malantaŭa teamo ne devus veti nenecese alte. Dum troe altaj vetoj plibonigas individuajn scenarojn, ili malbonigas aliajn. Tuj kiam \(y_b\) superas la deficiton \(d\) , teamo \(B\) perdas scenaron entute. Tial, la gvida teamo vetas tiel, ke, trans ĉiuj eblaj vetoj de la kontraŭulo, ili venkas kiel eble plej multajn individuajn scenarojn.
La persekutanto ne nepre vetas ekzakte unu eŭron, sed maksimume tiom kiom la deficito. La ĉefa demando estas do bona ekzemplo de kiom multe da ludoteorio estas enhavita en ŝajne simpla kvizregulo: gravas ne nur kiu ĉelo finiĝas blua aŭ ruĝa, sed kiom da el la kvar subkazoj ene de tiu ĉelo estas efektive gajnitaj.