कभी-कभी शाम के शुरुआती कार्यक्रम में एक अकेला सवाल (इस मामले में सम्मानित प्रस्तुतकर्ता काई प्लौम द्वारा पूछा गया) एक सामान्य क्विज़ शो के समापन को एक मामूली ऑप्टिमाइजेशन समस्या में बदल देता है। "हू नोज़ व्हाट?" में ठीक यही होता है। मुख्य प्रश्न: श्रेणी तो ज्ञात है, उत्तर अभी तक नहीं – लेकिन दांव पर लगी चीजें पहले ही निर्धारित कर चुकी हैं कि कौन से परिणाम अभी भी अच्छे हैं।
मान लीजिए दो टीमें हैं \(A\) और \(B\) । अंतिम प्रश्न से पहले, टीम \(A\) ने \(x_a\) राशि जीती थी, और टीम \(B\) ने \(x_b\) राशि जीती थी। हम इस मामले पर विचार करते हैं।
$$
x_a > x_b > 0.
$$
अब टीमें पूर्ण संख्याओं पर दांव लगा रही हैं।
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
यदि उत्तर सही है, तो दांव पर लगी राशि जोड़ दी जाती है; यदि उत्तर गलत है, तो उसे घटा दिया जाता है। चार संभावित परिणामों के लिए, निम्नलिखित अंतिम स्कोर प्राप्त होते हैं।:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
शो में, टाई होने पर अनुमान लगाने वाला प्रश्न पूछा जाता है। इसलिए, इसे मैट्रिक्स में एक अलग मामले के रूप में दर्शाया जाता है। जीतने की संभावना के प्रतिशत मानों के लिए, हम चार समान रूप से संभावित उप-मामलों में सीधी जीत की गणना करते हैं। \(|A|B|A|A|\) जैसा पैटर्न टीम \(A\) के लिए तीन सीधी जीत और टीम \(B\) के लिए एक सीधी जीत दर्शाता है। टाई होने पर किसी भी टीम की सीधी जीत नहीं गिनी जाती। यह अधिक सटीक गणना महत्वपूर्ण है; केवल पूरे सेल को "नीला" या "लाल" गिनना पर्याप्त नहीं है।
इस मॉडल में एक मान्यता निहित है: हम चारों उत्तर संयोजनों को समान रूप से संभावित मानते हैं। इसलिए, यह इस बारे में नहीं है कि टीम \(A\) या टीम \(B\) में से कौन श्रेणी को बेहतर जानता है, बल्कि यह केवल उत्तर देने से पहले अपनाई गई रणनीति के बारे में है।
के जाने
$$
d=x_a-x_b.
$$
तब \(d>0\) टीम \(A\) का लाभ है। अब सवाल यह है: इष्टतम दांव क्या है?
संभावित दांवों का संपूर्ण मैट्रिक्स गतिशील रूप से गणना किया जा सकता है।:
टीम ए का दृष्टिकोण
हम सबसे पहले यह जांच करते हैं कि निश्चित दांव \(y_a\) और \(y_b\) के साथ टीम \(A\) कब जीतती है।
मामला
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
यह हमेशा टीम \(A\) को ही मिलता है, क्योंकि
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
यह स्वतः लागू होता है क्योंकि \(x_a>x_b\) और \(y_a,y_b>0\) ।
अन्य तीन मामलों के लिए, हमें प्राप्त होता है:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\) के साथ यह बन जाता है:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
इसलिए:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
गणना विधि अब अत्यंत महत्वपूर्ण है। पहले, प्रत्येक सेल का मूल्यांकन केवल इस आधार पर किया जा सकता था कि उसमें \(A\) मामलों की संख्या \(B\) मामलों से अधिक है या नहीं। हालाँकि, यह जीतने की संभावना की गणना के लिए बहुत सरल तरीका है। चारों उप-मामले स्वयं समान रूप से संभावित घटनाएँ हैं। इसलिए, \(|A|B|A|A|\) \(A\) के लिए एक जीत नहीं माना जाता है, बल्कि इसे \(A\) के लिए तीन जीते हुए उप-मामलों के रूप में गिना जाता है।
टीम \(A\) के एक निश्चित दांव \(y_a\) के लिए, हम इसलिए सभी संभावित दांव \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) पर चार मामलों में व्यक्तिगत \(A\) प्रविष्टियों का योग करते हैं।
" \(A\) सही, \(B\) गलत" वाली स्थिति में हमेशा टीम \(A\) जीतती है। इससे पहले ही \(x_b\) द्वारा जीते गए उप-मामले प्राप्त हो जाते हैं।
अन्य तीन मामलों के लिए निम्नलिखित संख्याएँ प्राप्त होती हैं।:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
इसका मतलब है कि टीम \(A\) द्वारा जीते गए उप-मामलों की संख्या है
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
जीतने की संबंधित संभावना यह है
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
चूंकि यहां टाई को शामिल नहीं किया गया है, इसलिए \(P_A\) सीधे मास्टर प्रश्न जीतने की संभावना है (बिना किसी अनुमान प्रश्न के)।
यह अधिक सटीक गणना कोशिकाओं के साधारण बहुमत की तुलना में इष्टतम स्थिति को थोड़ा बदल देती है। टीम \(A\) निम्नलिखित इष्टतम अनुप्रयोग क्षेत्र प्राप्त होते हैं।:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
इस क्षेत्र में लगाए गए सभी दांव टीम \(A\) की जीत की संभावना को अधिकतम करते हैं। यदि आप समान रूप से अच्छे दांवों में से सबसे बड़ी राशि का दांव लगाना चाहते हैं, तो आपको हमेशा इस क्षेत्र के दाहिने किनारे का उपयोग करना चाहिए।
एक उदाहरण:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
फिर
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
वहाँ
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
इष्टतम सीमा लागू होती है।
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
अतः अधिकतम इष्टतम उपयोग यही है
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
संपूर्ण कोशिकाओं पर विचार करने का पुराना दृष्टिकोण सीमा \(9\leq y_a\leq 14\) सुझाव देता। आंशिक केस गणना अधिक सटीक रूप से दर्शाती है कि दो सीमा मान \(8\) और \(15\) भी इष्टतम हैं।
टीम बी का दृष्टिकोण
अब हम पिछड़ रही टीम \(B\) के दृष्टिकोण से इसी स्थिति पर विचार करते हैं। यहाँ भी, हम केवल संपूर्ण सेल की गणना नहीं करते हैं, बल्कि चार उप-मामलों में व्यक्तिगत \(B\) प्रविष्टियों की गणना करते हैं।
मामला
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
टीम \(B\) हमेशा हारती है। शेष तीन मामलों में, टीम \(B\) को एक निश्चित दांव \(y_b\) के लिए जीती गई उप-मामलों की निम्नलिखित संख्या प्राप्त होती है, जब सभी संभावित \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
तो है
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
और जीतने की संबंधित संभावना
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\) के लिए यह सरल होकर यह हो जाता है
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\) के लिए केवल यही प्राप्त होता है
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
यह टीम \(B\) के लिए सबसे उपयुक्त क्षेत्र है।
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
यह पुराने सेल मेजॉरिटी दृष्टिकोण की तुलना में एक महत्वपूर्ण सुधार है: टीम \(B\) के लिए इष्टतम शर्त जरूरी नहीं कि हमेशा \(1\) ही हो। उदाहरण के लिए, यदि टीम \(A\) \(d=8\) से आगे है और टीम \(B\) अधिकतम \(22\) शर्त लगा सकती है, तो जीतने की संभावना के संबंध में \(B\) के लिए सभी शर्तें इष्टतम हैं।:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
मूल सिद्धांत वही रहता है: पिछड़ रही टीम को अनावश्यक रूप से बड़ी रकम का दांव नहीं लगाना चाहिए। अत्यधिक ऊंचे दांव लगाने से कुछ स्थितियों में सुधार तो होता है, लेकिन अन्य स्थितियों में बिगड़ जाता है। जैसे ही \(y_b\) , घाटे \(d\) से अधिक हो जाता है, टीम \(B\) एक स्थिति में हार जाती है। इसलिए, अग्रणी टीम को इस तरह से दांव लगाना चाहिए कि प्रतिद्वंद्वी द्वारा लगाए गए सभी संभावित दांवों में से, वे यथासंभव अधिक से अधिक स्थितियों में जीत हासिल कर सकें।
वादी जरूरी नहीं कि ठीक एक यूरो ही दांव पर लगाए, बल्कि अधिकतम उतना ही दांव लगाए जितना घाटा है। इस प्रकार, मुख्य प्रश्न इस बात का एक अच्छा उदाहरण है कि एक साधारण से दिखने वाले प्रश्नोत्तरी नियम में कितना खेल सिद्धांत समाहित है: महत्वपूर्ण यह नहीं है कि कौन सा सेल नीला या लाल होता है, बल्कि यह है कि उस सेल के भीतर मौजूद चार उप-मामलों में से वास्तव में कितने जीते जाते हैं।