কখনও কখনও সন্ধ্যার অনুষ্ঠানের একটি মাত্র প্রশ্ন (এই ক্ষেত্রে শ্রদ্ধেয় উপস্থাপক কাই ফ্লাউমের করা) একটি নিরীহ কুইজ শো-এর সমাপ্তিকে একটি ছোটখাটো অপটিমাইজেশন সমস্যায় পরিণত করার জন্য যথেষ্ট। 'হু নোজ হোয়াট?' অনুষ্ঠানে ঠিক এটাই ঘটে। প্রধান প্রশ্ন: বিভাগটি জানা, উত্তরটি এখনও অজানা – কিন্তু পরিস্থিতিই নির্ধারণ করে দিচ্ছে কোন ফলাফলগুলো এখনও ভালো।
ধরা যাক \(A\) এবং \(B\) দুটি দল। চূড়ান্ত প্রশ্নের আগে, \(A\) দল \ \(x_a\) পরিমাণ অর্থ জিতেছিল এবং \(B\) দল \(x_b\) পরিমাণ অর্থ জিতেছিল। আমরা এই ক্ষেত্রটি বিবেচনা করব।
$$
x_a > x_b > 0.
$$
দলগুলো এখন পূর্ণ সংখ্যায় বাজি ধরছে।
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
উত্তর সঠিক হলে বাজি রাখা অর্থ যোগ করা হয়; উত্তর ভুল হলে তা বিয়োগ করা হয়। চারটি সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য নিম্নলিখিত চূড়ান্ত স্কোরগুলো পাওয়া যায়।:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
এই শো-তে, টাই হলে একটি অনুমানের প্রশ্ন তৈরি হয়। তাই, এটি ম্যাট্রিক্সে একটি পৃথক ক্ষেত্র "=" হিসাবে দৃশ্যমান থাকে। জেতার সম্ভাবনার শতাংশ মানগুলির জন্য, আমরা সমানভাবে সম্ভাব্য চারটি উপ-ক্ষেত্রে সরাসরি জয় গণনা করি। \(|A|B|A|A|\) এর মতো একটি প্যাটার্ন টিম \(A\) এর জন্য তিনটি এবং টিম \(B\) এর জন্য একটি সরাসরি জয় নির্দেশ করে। টাই হলে কোনো দলের জন্যই তা সরাসরি জয় হিসাবে গণ্য হয় না। এই আরও সুনির্দিষ্ট গণনা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ; শুধুমাত্র একটি সম্পূর্ণ ঘরকে "নীল" বা "লাল" হিসাবে গণনা করা যথেষ্ট নয়।
এই মডেলে একটি অনুমান রয়েছে: আমরা চারটি উত্তর সংমিশ্রণকে সমানভাবে সম্ভাব্য বলে ধরে নিই। সুতরাং, বিষয়টি এমন নয় যে টিম \(A\) বা টিম \(B\) বিভাগটি ভালোভাবে জানে, বরং মূল বিষয় হলো উত্তর দেওয়ার আগে কোন কৌশল অবলম্বন করা হয়েছে।
চলুন
$$
d=x_a-x_b.
$$
তাহলে \(d>0\) হলো \(A\) দলের সুবিধা। এখন প্রশ্ন হলো: সর্বোত্তম বাজি কত?
সম্ভাব্য বাজিগুলোর সম্পূর্ণ তালিকাটি গতিশীলভাবে গণনা করা যেতে পারে।:
টিম এ-এর দৃষ্টিকোণ
আমরা প্রথমে স্থির বাজি \(y_a\) এবং \(y_b\) -এর ক্ষেত্রে টিম \(A\) কখন জেতে তা পরীক্ষা করব।
মামলাটি
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
এটা সবসময় টিম \(A\) এর কাছেই যায়, কারণ
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রযোজ্য কারণ \(x_a>x_b\) এবং \(y_a,y_b>0\) ।
বাকি তিনটি ক্ষেত্রে, আমরা পাই:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\) হলে এটি হয়ে যায়:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
সুতরাং:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
গণনা পদ্ধতিটি এখন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। পূর্বে, প্রতিটি ঘরকে শুধুমাত্র এই ভিত্তিতে মূল্যায়ন করার একটি প্রবণতা থাকতে পারত যে, তাতে \ \(B\) এর চেয়ে \(A\) এর ঘটনা বেশি আছে কি না। কিন্তু, জেতার সম্ভাবনা গণনা করার জন্য এটি একটি অতি সরলীকৃত পদ্ধতি। চারটি উপ-ঘটনা নিজেরাই সমান সম্ভাবনাময় ঘটনা। অতএব, \(|A|B|A|A|\) \(A\) এর জন্য একটি একক জয় হিসেবে গণ্য করা হয় না, বরং এটিকে \(A\) এর জন্য তিনটি জয়ী উপ-ঘটনা হিসেবে গণ্য করা হয়।
অতএব, দল \(A\) এর একটি নির্দিষ্ট বাজি \(y_a\) এর জন্য, আমরা সমস্ত সম্ভাব্য বাজি \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) এর উপর চারটি ক্ষেত্রে \(A\) এর প্রতিটি এন্ট্রির যোগফল করি।
" \(A\) সঠিক, \(B\) ভুল" এই ক্ষেত্রে সবসময় দল \(A\) জেতে। এর ফলেই ইতিমধ্যেই \(x_b\) টি জেতা উপক্ষেত্র তৈরি হয়।
অন্য তিনটি ক্ষেত্রের জন্য নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলো পাওয়া যায়।:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
এর মানে হলো টিম \(A\) দ্বারা জেতা উপ-মামলার সংখ্যা হলো
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
জেতার সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা হলো
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
যেহেতু এখানে টাই অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি, তাই \(P_A\) হলো সরাসরি (কোনো অনুমানের প্রশ্ন ছাড়া) মূল প্রশ্নটিতে জেতার সম্ভাবনা।
এই আরও সুনির্দিষ্ট গণনা, কোষগুলোর সাধারণ সংখ্যাগরিষ্ঠতার তুলনায় সর্বোত্তম মানকে সামান্য পরিবর্তন করে। টিম \(A\) নিম্নলিখিত সর্বোত্তম প্রয়োগ ক্ষেত্রগুলো পাওয়া যায়।:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
এই এলাকার সমস্ত বাজি টিম \(A\) -এর জেতার সম্ভাবনাকে সর্বোচ্চ করে তোলে। যদি আপনি সমান ভালো বাজিগুলোর মধ্যে থেকে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য পরিমাণ বাজি ধরতে চান, তাহলে আপনার সর্বদা এলাকাটির ডান প্রান্ত ব্যবহার করা উচিত।
একটি উদাহরণ:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
তারপর
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
সেখানে
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
সর্বোত্তম পরিসর প্রযোজ্য।
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
অতএব সর্বোত্তম ব্যবহার হল
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
সম্পূর্ণ সেল বিবেচনা করার পুরানো পদ্ধতিটি \(9\leq y_a\leq 14\) পরিসরটি নির্দেশ করত। আংশিক কেস গণনা আরও স্পষ্টভাবে দেখায় যে দুটি প্রান্তিক মান \(8\) এবং \(15\) -ও সর্বোত্তম।
টিম বি-এর দৃষ্টিকোণ
এখন আমরা পিছিয়ে থাকা দল \(B\) এর দৃষ্টিকোণ থেকে একই পরিস্থিতি বিবেচনা করব। এখানেও, আমরা আর কেবল সম্পূর্ণ ঘরগুলো গণনা করব না, বরং চারটি উপ-ক্ষেত্রে থাকা \(B\) এর প্রতিটি ভুক্তি গণনা করব।
মামলাটি
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
টিম \(B\) সর্বদা হারে। অবশিষ্ট তিনটি ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট বাজি \(y_b\) জন্য, সমস্ত সম্ভাব্য \(y_a=1,2,\ldots,x_a\) যোগফল বের করলে টিম \(B\) নিম্নলিখিত সংখ্যক জয়ী উপ-ক্ষেত্র লাভ করে।:
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
তাই হয়
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
এবং জেতার সংশ্লিষ্ট সম্ভাবনা
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\) এর জন্য এটি সরলীকৃত হয়
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\) এর জন্য কেবল পাওয়া যায়
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
এটি টিম \(B\) -এর জন্য সর্বোত্তম এলাকা।
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
স্থূল সেল মেজরিটি পদ্ধতির তুলনায় এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সংশোধন: টিম \(B\) এর জন্য সর্বোত্তম বাজি অগত্যা অনন্যভাবে \(1\) নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি টিম \(A\) \(d=8\) নিয়ে এগিয়ে থাকে এবং টিম \(B\) সর্বাধিক \(22\) বাজি ধরতে পারে, তাহলে \(B\) এর জন্য সমস্ত বাজিই জেতার সম্ভাবনার সাপেক্ষে সর্বোত্তম।:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
মূল ধারণাটি একই থাকে: পিছিয়ে থাকা দলের অপ্রয়োজনীয়ভাবে বেশি বাজি ধরা উচিত নয়। অতিরিক্ত বেশি বাজি কিছু কিছু ক্ষেত্রে উন্নতি করলেও, অন্য ক্ষেত্রে তা পরিস্থিতিকে আরও খারাপ করে তোলে। যেই মুহূর্তে \(y_b\) ঘাটতি \(d\) কে অতিক্রম করে, দল \(B\) সামগ্রিকভাবে একটি পরিস্থিতিতে হেরে যায়। অতএব, এগিয়ে থাকা দল এমনভাবে বাজি ধরে যাতে প্রতিপক্ষের সমস্ত সম্ভাব্য বাজির মধ্যে তারা যতটা সম্ভব বেশি সংখ্যক স্বতন্ত্র পরিস্থিতিতে জয়লাভ করতে পারে।
অনুসরণকারী যে ঠিক এক ইউরো বাজি ধরবেই, এমন কোনো বাধ্যবাধকতা নেই, বরং সে বড়জোর ঘাটতির সমান অর্থ বাজি ধরতে পারে। সুতরাং, মূল প্রশ্নটি একটি ভালো উদাহরণ যে, আপাতদৃষ্টিতে একটি সাধারণ কুইজের নিয়মের মধ্যেও গেম থিওরি কতটা নিহিত রয়েছে: এখানে শুধু কোন ঘরটি নীল বা লাল হবে সেটাই গুরুত্বপূর্ণ নয়, বরং ঐ ঘরের ভেতরের চারটি উপ-পরিস্থিতির মধ্যে কয়টিতে আসলে জয় লাভ করা হয়েছে, সেটাও গুরুত্বপূর্ণ।