Иногда одного-единственного вопроса в вечерней программе (в данном случае от уважаемого ведущего Кая Пфлауме) достаточно, чтобы превратить безобидный финал викторины в незначительную задачу оптимизации. Именно это и происходит в программе «Кто знает что?» Главный вопрос: Категория известна, ответ пока неизвестен, но ставки уже определяют, какие исходы всё ещё будут хорошими.
Рассмотрим две команды \(A\) и \(B\) . Перед последним вопросом команда \(A\) выиграла сумму \(x_a\) , а команда \(B\) выиграла сумму \(x_b\) . Рассмотрим случай
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Теперь команды делают ставки на целые числа.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Если ответ правильный, сумма ставки добавляется; если ответ неправильный, она вычитается. Для четырех возможных исходов получаются следующие итоговые баллы.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
В шоу ничья приводит к вопросу на оценку. Поэтому она остается видимой в матрице как отдельный случай, отмеченный «=". Для процентных значений вероятности выигрыша мы учитываем прямые победы в четырех равновероятных подслучаях. Шаблон типа \(|A|B|A|A|\) дает три прямые победы для команды \(A\) и одну для команды \(B\) . Ничья не считается прямой победой ни для одной из команд. Этот более точный подсчет имеет решающее значение; недостаточно просто считать всю ячейку «синей» или «красной».
Эта модель содержит предположение: мы рассматриваем четыре комбинации ответов как одинаково вероятные. Следовательно, речь идёт не о том, кто лучше знает категорию — команда \(A\) или команда \(B\) , а только о стратегии, использованной перед ответом.
Давайте
$$
d=x_a-x_b.
$$
Тогда \(d>0\) — преимущество команды \(A\) . Теперь вопрос: какова оптимальная ставка?
Полная матрица возможных ставок может быть рассчитана динамически.:
Точка зрения команды А
Сначала рассмотрим случай, когда команда \(A\) побеждает при фиксированных ставках \(y_a\) и \(y_b\) .
Дело
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Победа всегда достается команде \(A\) , потому что
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Это применяется автоматически, поскольку \(x_a>x_b\) и \(y_a,y_b>0\) .
В остальных трех случаях мы получаем:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
При \(x_a=x_b+d\) это становится:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Так:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Теперь решающее значение имеет метод подсчета. Ранее можно было бы попытаться оценить каждую ячейку исключительно на основе того, содержит ли она больше случаев \(A\) чем случаев \(B\) . Однако это слишком упрощенный подход для расчета вероятности выигрыша. Четыре подслучая сами по себе являются одинаково вероятными событиями. Следовательно, \(|A|B|A|A|\) не считается одной победой для \(A\) , а скорее тремя выигранными подслучаями для \(A\) .
Для фиксированной ставки \(y_a\) команды \(A\) следовательно, суммируем индивидуальные значения \(A\) в четырех случаях по всем возможным ставкам \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Случай " \(A\) правильно, \(B\) неправильно" всегда достается команде \(A\) . Это уже приводит к подслучаям, в которых побеждает \(x_b\) .
Для трех других случаев получены следующие результаты.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Это означает, что количество подзадач, выигранных командой \(A\) равно
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Соответствующая вероятность выигрыша равна
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Поскольку ничья здесь не учитывается, \(P_A\) — это в точности вероятность прямой победы в главном вопросе (без вопроса на оценку).
Более точный подсчет немного смещает оптимум по сравнению с методом простого большинства ячеек. Для команды \(A\) получаются следующие оптимальные области применения.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Все ставки в этой зоне максимизируют вероятность победы команды \(A\) Если вы хотите поставить максимально возможную сумму среди одинаково выгодных ставок, всегда используйте правый край зоны.
Пример:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Затем
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Там
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Действует оптимальный диапазон.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Таким образом, наиболее оптимальным вариантом использования является
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Старый подход, рассматривающий целые клетки, предполагал бы диапазон \(9\leq y_a\leq 14\) . Подсчет частичных случаев более точно показывает, что два граничных значения \(8\) и \(15\) также являются оптимальными.
Точка зрения команды Б.
Теперь рассмотрим ту же ситуацию с точки зрения отстающей команды \(B\) . Здесь мы также учитываем не только целые ячейки, но и отдельные записи \(B\) в четырех подслучаях.
Дело
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Команда \(B\) всегда проигрывает. В трех оставшихся случаях команда \(B\) получает следующее количество выигранных подслучаев при фиксированной ставке \(y_b\) , суммируя все возможные значения \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Так это
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
и соответствующая вероятность выигрыша
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
При \(y_b\leq d\) это упрощается до
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
При \(y_b>d\) получаем только
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Это оптимальная зона для команды \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Это важная поправка по сравнению с более грубым подходом, основанным на большинстве ячеек: оптимальная ставка для команды \(B\) не обязательно однозначно равна \(1\) Например, если команда \(A\) лидирует с \(d=8\) , а команда \(B\) может поставить не более \(22\) , то все ставки для \(B\) являются оптимальными с точки зрения вероятности выигрыша.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Принцип остается тем же: отстающей команде не следует делать неоправданно высокие ставки. Хотя чрезмерно высокие ставки улучшают отдельные сценарии, они ухудшают другие. Как только \(y_b\) превышает дефицит \(d\) , команда \(B\) в целом проигрывает один из сценариев. Поэтому лидирующая команда делает ставки таким образом, чтобы среди всех возможных ставок противника она выиграла как можно больше отдельных сценариев.
Преследователь не обязательно ставит ровно один евро, но максимум столько, сколько составляет дефицит. Таким образом, главный вопрос является хорошим примером того, сколько теории игр содержится в, казалось бы, простом правиле викторины: важно не только то, какая ячейка окажется синей или красной, но и сколько из четырех подслучая внутри этой ячейки действительно выиграны.