A veces, una sola pregunta en el programa de la tarde (en este caso del estimado presentador Kai Pflaume) basta para convertir la final de un concurso aparentemente inofensivo en un pequeño problema de optimización. Eso es precisamente lo que ocurre en "¿Quién sabe qué?". Pregunta maestra: Se conoce la categoría, aún no la respuesta, pero lo que está en juego ya determina qué resultados siguen siendo buenos.
Tomemos dos equipos \(A\) y \(B\) . Antes de la pregunta final, el equipo \(A\) había ganado la cantidad \(x_a\) y el equipo \(B\) había ganado la cantidad \(x_b\) . Consideremos el caso
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Ahora los equipos están apostando a números enteros.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Si la respuesta es correcta, se suma la cantidad apostada; si es incorrecta, se resta. Para los cuatro resultados posibles, se obtienen las siguientes puntuaciones finales.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
En el programa, un empate lleva a una pregunta de estimación. Por lo tanto, permanece visible en la matriz como un caso separado "=". Para los valores porcentuales de la probabilidad de ganar, contamos las victorias directas en los cuatro subcasos igualmente probables. Un patrón como \(|A|B|A|A|\) produce tres victorias directas para el Equipo \(A\) y una para el Equipo \(B\) . Un empate no cuenta como una victoria directa para ninguno de los equipos. Este conteo más preciso es crucial; no basta con simplemente contar una celda completa como "azul" o "roja".
Este modelo parte de una premisa: consideramos que las cuatro combinaciones de respuestas son igualmente probables. Por lo tanto, no se trata de si el Equipo \(A\) o el Equipo \(B\) conocen mejor la categoría, sino únicamente de la estrategia empleada antes de responder.
Vamos
$$
d=x_a-x_b.
$$
Entonces \(d>0\) es la ventaja del equipo \(A\) . La pregunta ahora es: ¿Cuál es la apuesta óptima?
La matriz completa de apuestas posibles se puede calcular dinámicamente.:
La perspectiva del equipo A
Primero examinamos cuándo el Equipo \(A\) gana con apuestas fijas \(y_a\) y \(y_b\) .
El caso
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Siempre va al Equipo \(A\) , porque
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Esto se aplica automáticamente porque \(x_a>x_b\) y \(y_a,y_b>0\) .
Para los otros tres casos, recibimos:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Con \(x_a=x_b+d\) esto se convierte en:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Entonces:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
El método de conteo es ahora crucial. Anteriormente, uno podría verse tentado a evaluar cada celda basándose únicamente en si contiene más casos \(A\) que \(B\) . Sin embargo, esto es demasiado simplista para calcular la probabilidad de ganar. Los cuatro subcasos son en sí mismos eventos igualmente probables. Por lo tanto, \(|A|B|A|A|\) no cuenta como una sola victoria para \(A\) , sino como tres subcasos ganados para \(A\) .
Para una apuesta fija \(y_a\) del equipo \(A\) por lo tanto sumamos las entradas individuales de \(A\) en los cuatro casos sobre todas las apuestas posibles \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
El caso " \(A\) correcto, \(B\) incorrecto" siempre favorece al equipo \(A\) . Esto ya genera subcasos \(x_b\) ganados.
Los siguientes números resultan para los otros tres casos.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Esto significa que el número de subcasos ganados por el Equipo \(A\) es
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
La probabilidad correspondiente de ganar es
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Dado que aquí no se incluye un empate, \(P_A\) es exactamente la probabilidad de ganar la pregunta maestra directamente (sin una pregunta de estimación).
Este conteo más preciso modifica ligeramente el óptimo en comparación con la mayoría simple de las celdas. Para el Equipo \(A\) se obtienen las siguientes áreas de aplicación óptimas.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Todas las apuestas en esta zona maximizan la probabilidad de que gane el Equipo \(A\) Si desea apostar la mayor cantidad posible entre las apuestas igualmente buenas, siempre debe usar el borde derecho de la zona.
Un ejemplo:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Entonces
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Allá
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Se aplica el rango óptimo.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Por lo tanto, el uso óptimo más importante es
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
El antiguo enfoque de considerar células enteras habría sugerido el rango \(9\leq y_a\leq 14\) . El recuento de casos parciales muestra con mayor precisión que los dos valores límite \(8\) y \(15\) también son óptimos.
La perspectiva del equipo B
Ahora consideramos la misma situación desde la perspectiva del equipo rezagado \(B\) . Aquí también, ya no contamos solo celdas completas, sino las entradas individuales \(B\) en los cuatro subcasos.
El caso
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
El equipo \(B\) siempre pierde. En los tres casos restantes, el equipo \(B\) recibe la siguiente cantidad de subcasos ganados para una apuesta fija \(y_b\) al sumar sobre todos los posibles \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Asi es
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
y la probabilidad asociada de ganar
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Para \(y_b\leq d\) esto se simplifica a
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Para \(y_b>d\) solo se obtiene
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Esta es la zona óptima para el Equipo \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Esta es una corrección importante en comparación con el enfoque más burdo de mayoría celular: la apuesta óptima para el Equipo \(B\) no es necesariamente única \(1\) Por ejemplo, si el Equipo \(A\) va ganando con \(d=8\) y el Equipo \(B\) puede apostar como máximo \(22\) , entonces todas las apuestas para \(B\) son óptimas con respecto a la probabilidad de ganar.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
La idea principal sigue siendo la misma: el equipo que va perdiendo no debe apostar cantidades excesivamente altas. Si bien las apuestas excesivamente altas mejoran algunos escenarios, empeoran otros. En cuanto \(y_b\) supera el déficit \(d\) , el equipo \(B\) pierde un escenario en general. Por lo tanto, el equipo que va ganando apuesta de tal manera que, considerando todas las apuestas posibles del oponente, gane la mayor cantidad de escenarios individuales posible.
El perseguidor no necesariamente apuesta exactamente un euro, sino como máximo la cantidad equivalente al déficit. La pregunta maestra es, por lo tanto, un buen ejemplo de cuánta teoría de juegos encierra una regla de un cuestionario aparentemente simple: lo que importa no es solo qué casilla termina siendo azul o roja, sino cuántos de los cuatro subcasos dentro de esa casilla se ganan realmente.