Parfois, une simple question posée en début de soirée (ici, par le présentateur renommé Kai Pflaume) suffit à transformer la finale d'un jeu télévisé anodin en un petit problème d'optimisation. C'est exactement ce qui se passe dans « Who Knows What? » Question maîtresse: La catégorie est connue, la réponse pas encore – mais les enjeux déterminent déjà quels résultats sont encore acceptables.
Prenons deux équipes \(A\) et \(B\) Avant la question finale, l'équipe \(A\) avait gagné la somme \(x_a\) et l'équipe \(B\) la somme \(x_b\) . Considérons le cas suivant :
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Les équipes parient désormais sur des nombres entiers.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Si la réponse est correcte, la mise est ajoutée ; si elle est incorrecte, elle est soustraite. Voici les scores finaux obtenus pour les quatre résultats possibles.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Dans l'émission, une égalité donne lieu à une question d'estimation. Elle reste donc visible dans la matrice comme un cas distinct (« =" »). Pour calculer les pourcentages de probabilité de victoire, nous comptons les victoires directes dans les quatre sous-cas équiprobables. Une configuration comme \(|A|B|A|A|\) donne trois victoires directes pour l'équipe \(A\) et une pour l'équipe \(B\) . Une égalité n'est pas comptabilisée comme une victoire directe pour aucune des deux équipes. Ce comptage plus précis est crucial ; il ne suffit pas de simplement considérer une case entière comme « bleue » ou « rouge ».
Ce modèle repose sur une hypothèse : nous considérons les quatre combinaisons de réponses comme équiprobables. Par conséquent, il ne s’agit pas de savoir si l’équipe \(A\) ou l’équipe \(B\) connaît mieux la catégorie, mais uniquement de la stratégie employée avant de répondre.
Allons-y
$$
d=x_a-x_b.
$$
Alors, \(d>0\) représente l'avantage de l'équipe \(A\) . La question qui se pose maintenant est : quelle est la mise optimale ?
La matrice complète des paris possibles peut être calculée dynamiquement.:
Le point de vue de l'équipe A
Nous examinons d'abord quand l'équipe \(A\) gagne avec des mises fixes \(y_a\) et \(y_b\) .
L'affaire
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Elle revient toujours à l'équipe \(A\) , car
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Cela s’applique automatiquement car \(x_a>x_b\) et \(y_a,y_b>0\) .
Pour les trois autres cas, nous recevons:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Avec \(x_a=x_b+d\) cela devient:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Donc:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
La méthode de comptage est désormais cruciale. Auparavant, on pourrait être tenté d'évaluer chaque cellule uniquement en fonction du nombre de cas \(A\) \(B\) qu'elle contient. Cependant, cette approche est trop simpliste pour calculer la probabilité de gain. Les quatre sous-cas sont eux-mêmes des événements équiprobables. Par conséquent, \(|A|B|A|A|\) ne compte pas comme une seule victoire pour \(A\) , mais plutôt comme trois sous-cas gagnés pour \(A\) .
Pour une mise fixe \(y_a\) de l'équipe \(A\) nous additionnons donc les entrées individuelles \(A\) dans les quatre cas sur toutes les mises possibles \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Le cas « \(A\) correct, \(B\) incorrect » est toujours attribué à l'équipe \(A\) . Cela donne déjà \(x_b\) sous-cas gagnés.
Voici les résultats chiffrés pour les trois autres cas.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Cela signifie que le nombre de sous-affaires remportées par l'équipe \(A\) est
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
La probabilité de gain correspondante est
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Comme une égalité n'est pas incluse ici, \(P_A\) est exactement la probabilité de gagner directement la question principale (sans question d'estimation).
Ce comptage plus précis décale légèrement l'optimum par rapport à la simple majorité des cellules. Pour l'équipe \(A\) les domaines d'application optimaux sont les suivants.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Dans cette zone, tous les paris maximisent les chances de victoire de l'équipe \(A\) Si vous souhaitez miser le montant le plus élevé possible parmi les paris équivalents, privilégiez toujours le bord droit de la zone.
Un exemple:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Ensuite
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Là
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
La plage optimale s'applique.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
L'utilisation optimale maximale est donc
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
L'ancienne approche consistant à considérer des cellules entières aurait suggéré l'intervalle \(9\leq y_a\leq 14\) . Le décompte partiel montre plus précisément que les deux valeurs limites \(8\) et \(15\) sont également optimales.
Le point de vue de l'équipe B
Nous considérons maintenant la même situation du point de vue de l'équipe en queue de peloton \(B\) . Ici aussi, nous ne comptons plus seulement les cellules entières, mais les entrées individuelles \(B\) dans les quatre sous-cas.
L'affaire
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
L'équipe \(B\) perd toujours. Dans les trois cas restants, l'équipe \(B\) reçoit le nombre suivant de sous-cas gagnés pour une mise fixe \(y_b\) en additionnant tous les cas possibles \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Ainsi est
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
et la probabilité associée de gagner
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Pour \(y_b\leq d\) cela se simplifie en
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Pour \(y_b>d\) on obtient seulement
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Il s'agit de la zone optimale pour l'équipe \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Il s'agit d'une correction importante par rapport à l'approche plus grossière de la majorité des cellules : le pari optimal pour l'équipe \(B\) n'est pas nécessairement uniquement \(1\) Par exemple, si l'équipe \(A\) est en tête avec \(d=8\) et que l'équipe \(B\) peut parier au maximum \(22\) , alors tous les paris pour \(B\) sont optimaux par rapport à la probabilité de gagner.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
L'intuition reste la même : l'équipe menée ne doit pas miser inutilement. Si des mises excessivement élevées améliorent certains scénarios, elles en détériorent d'autres. Dès que \(y_b\) dépasse le déficit \(d\) , l'équipe \(B\) perd globalement un scénario. Par conséquent, l'équipe en tête mise de manière à remporter le plus grand nombre possible de scénarios individuels, compte tenu de toutes les mises possibles de l'adversaire.
Le poursuivant ne mise pas forcément exactement un euro, mais au maximum autant que le déficit. La question maîtresse illustre donc bien la richesse de la théorie des jeux contenue dans une règle de quiz en apparence simple : ce qui compte, ce n’est pas seulement quelle case finit bleue ou rouge, mais combien des quatre sous-cas contenus dans cette case sont effectivement gagnés.