Ibland räcker en enda fråga i det tidiga kvällsprogrammet (i det här fallet från den uppskattade programledaren Kai Pflaume) för att förvandla en harmlös frågesportsfinal till ett mindre optimeringsproblem. Det är precis vad som händer i "Vem vet vad?". Huvudfråga: Kategorin är känd, svaret inte ännu – men insatserna avgör redan vilka resultat som fortfarande är bra.
Låt oss ta två lag \(A\) och \(B\) . Innan den sista frågan hade lag \(A\) vunnit beloppet \(x_a\) och lag \(B\) hade vunnit beloppet \(x_b\) . Vi betraktar fallet
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Lagen satsar nu på heltal.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Om svaret är rätt läggs det insatta beloppet till; om svaret är felaktigt subtraheras det. För de fyra möjliga resultaten blir följande slutresultat.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
I programmet leder oavgjort resultat till en uppskattningsfråga. Därför förblir det synligt i matrisen som ett separat fall "=". För procentvärdena för vinstsannolikheten räknar vi direkta vinster i de fyra lika sannolika delfallen. Ett mönster som \(|A|B|A|A|\) ger tre direkta vinster för Lag \(A\) och en för Lag \(B\) . Oavgjort resultat räknas inte som en direkt vinst för något av lagen. Denna mer exakta räkning är avgörande; det räcker inte att bara räkna en hel cell som "blå" eller "röd".
Denna modell innehåller ett antagande: Vi behandlar de fyra svarskombinationerna som lika sannolika. Därför handlar det inte om huruvida lag \(A\) eller lag \(B\) känner till kategorin bättre, utan bara om vilken strategi som användes innan svaret.
Låt oss
$$
d=x_a-x_b.
$$
Då är \(d>0\) fördelen för lag \(A\) . Frågan är nu: Vad är den optimala insatsen?
Den kompletta matrisen av möjliga spel kan beräknas dynamiskt.:
Lag A:s perspektiv
Vi undersöker först när Lag \(A\) vinner med fasta insatser \(y_a\) och \(y_b\) .
Fallet
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Det går alltid till Lag \(A\) , eftersom
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Detta gäller automatiskt eftersom \(x_a>x_b\) och \(y_a,y_b>0\) .
För de övriga tre fallen får vi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Med \(x_a=x_b+d\) blir detta:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Så:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Räknemetoden är nu avgörande. Tidigare kunde man vara frestad att utvärdera varje cell enbart baserat på om den innehåller fler \(A\) fall än \(B\) . Detta är dock för förenklat för att beräkna sannolikheten för att vinna. De fyra delfallen är i sig lika sannolika händelser. Därför räknas \(|A|B|A|A|\) inte som en enda vinst för \(A\) , utan snarare som tre vunna delfall för \(A\) .
För en fast insats \(y_a\) för lag \(A\) summerar vi därför de individuella \(A\) insatserna i de fyra fallen över alla möjliga insatser \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Fallet " \(A\) korrekt, \(B\) felaktigt" går alltid till lag \(A\) . Detta ger redan \(x_b\) vunna delfall.
Följande siffror resulterar för de tre andra fallen.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Det betyder att antalet delfall som vunnits av Team \(A\) är
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Motsvarande sannolikhet att vinna är
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Eftersom oavgjort inte ingår här, är \(P_A\) exakt sannolikheten att vinna huvudfrågan direkt (utan en uppskattningsfråga).
Denna mer exakta räkning förskjuter det optimala värdet något jämfört med den enkla majoriteten av cellerna. För Team \(A\) resulterar följande optimala tillämpningsområden.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Alla spel i detta område maximerar Lag \(A\) :s sannolikhet att vinna. Om du vill satsa det största möjliga beloppet bland de lika bra spelen bör du alltid använda den högra kanten av området.
Ett exempel:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Sedan
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Det
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Det optimala intervallet gäller.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Den största optimala användningen är därför
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Det gamla tillvägagångssättet att betrakta hela celler skulle ha föreslagit intervallet \(9\leq y_a\leq 14\) . Det partiella antalet fall visar mer exakt att de två randvärdena \(8\) och \(15\) också är optimala.
Team B:s perspektiv
Nu betraktar vi samma situation ur det efterföljande teamets perspektiv \(B\) . Även här räknar vi inte längre bara hela celler, utan de individuella \(B\) posterna i de fyra delfallen.
Fallet
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Lag \(B\) förlorar alltid. I de tre återstående fallen får Lag \(B\) följande antal vunna delfall för en fast insats \(y_b\) när de summerar alla möjliga \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Så är det
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
och den därmed sammanhängande sannolikheten att vinna
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
För \(y_b\leq d\) förenklas detta till
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
För \(y_b>d\) får man bara
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Detta är det optimala området för lag \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Detta är en viktig korrigering jämfört med den grövre cellmajoritetsmetoden: Den optimala insatsen för Lag \(B\) är inte nödvändigtvis unikt \(1\) Om till exempel Lag \(A\) leder med \(d=8\) och Lag \(B\) kan satsa högst \(22\) , då är alla insatser för \(B\) optimala med avseende på sannolikheten att vinna.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuitionen förblir densamma: Det underlägsna laget bör inte satsa onödigt högt. Medan alltför höga satsningar förbättrar enskilda scenarier, försämrar de andra. Så snart \(y_b\) överstiger underskottet \(d\) förlorar lag \(B\) ett scenario totalt sett. Därför satsar det ledande laget på ett sådant sätt att de, utifrån alla möjliga satsningar från motståndaren, vinner så många individuella scenarier som möjligt.
Förföljaren satsar inte nödvändigtvis exakt en euro, utan högst lika mycket som underskottet. Huvudfrågan är således ett bra exempel på hur mycket spelteori som ryms i en till synes enkel frågesportregel: det som spelar roll är inte bara vilken ruta som hamnar blå eller röd, utan hur många av de fyra delfallen inom den rutan som faktiskt vinns.