Đôi khi chỉ một câu hỏi trong chương trình buổi tối sớm (trong trường hợp này là từ người dẫn chương trình đáng kính Kai Pflaume) cũng đủ để biến đêm chung kết của một chương trình đố vui vô hại thành một bài toán tối ưu hóa nhỏ. Đó chính xác là những gì xảy ra trong chương trình "Ai Biết Gì?". Câu hỏi chính: Thể loại đã được xác định, câu trả lời vẫn chưa rõ ràng – nhưng những rủi ro hiện tại đã quyết định kết quả nào vẫn được coi là tốt.
Giả sử có hai đội \(A\) và \(B\) . Trước câu hỏi cuối cùng, đội \(A\) đã thắng được số tiền \(x_a\) , và đội \(B\) đã thắng được số tiền \(x_b\) . Chúng ta xét trường hợp
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Các đội hiện đang đặt cược theo số nguyên.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Nếu câu trả lời đúng, số tiền đặt cược sẽ được cộng thêm; nếu câu trả lời sai, số tiền đó sẽ bị trừ đi. Với bốn kết quả có thể xảy ra, điểm số cuối cùng sẽ như sau.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Trong chương trình, trường hợp hòa dẫn đến câu hỏi ước lượng. Do đó, nó vẫn hiển thị trong ma trận như một trường hợp riêng biệt "=". Đối với các giá trị phần trăm của xác suất chiến thắng, chúng ta tính số trận thắng trực tiếp trong bốn trường hợp phụ có xác suất bằng nhau. Một mẫu như \(|A|B|A|A|\) mang lại ba trận thắng trực tiếp cho Đội \(A\) và một trận cho Đội \(B\) . Trường hợp hòa không được tính là trận thắng trực tiếp cho bất kỳ đội nào. Việc đếm chính xác hơn này rất quan trọng; chỉ đơn giản đếm toàn bộ một ô là "xanh" hoặc "đỏ" là không đủ.
Mô hình này chứa một giả định: Chúng ta coi bốn tổ hợp câu trả lời có khả năng xảy ra như nhau. Do đó, vấn đề không phải là đội \(A\) hay đội \(B\) hiểu rõ hơn về chủ đề đó, mà chỉ là chiến lược được sử dụng trước khi trả lời.
Hãy cùng nhau
$$
d=x_a-x_b.
$$
Khi đó \(d>0\) là lợi thế của đội \(A\) . Câu hỏi đặt ra bây giờ là: Mức đặt cược tối ưu là bao nhiêu?
Toàn bộ ma trận các lựa chọn đặt cược có thể được tính toán một cách linh hoạt.:
Góc nhìn của Đội A
Trước tiên, chúng ta xem xét khi nào Đội \(A\) thắng với mức cược cố định \(y_a\) và \(y_b\) .
Vụ án
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Nó luôn thuộc về Đội \(A\) , bởi vì
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Điều này áp dụng tự động vì \(x_a>x_b\) và \(y_a,y_b>0\) .
Đối với ba trường hợp còn lại, chúng tôi nhận được:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Với \(x_a=x_b+d\) điều này trở thành:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Vì thế:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Phương pháp đếm hiện nay rất quan trọng. Trước đây, người ta có thể dễ dàng đánh giá từng ô chỉ dựa trên việc nó có chứa nhiều trường hợp \(A\) hơn \(B\) hay không. Tuy nhiên, cách này quá đơn giản để tính toán xác suất thắng. Bốn trường hợp con đều là những sự kiện có xác suất như nhau. Do đó, \(|A|B|A|A|\) không được tính là một chiến thắng duy nhất cho \(A\) , mà là ba trường hợp con thắng cho \(A\) .
Với mức cược cố định \(y_a\) của đội \(A\) do đó chúng ta cộng tổng các mục nhập riêng lẻ của \(A\) trong bốn trường hợp trên tất cả các mức cược có thể \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Trường hợp " \(A\) đúng, \(B\) sai" luôn thuộc về đội \(A\) . Điều này đã tạo ra các trường hợp con \(x_b\) thắng.
Các số liệu sau đây là kết quả cho ba trường hợp còn lại.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Điều này có nghĩa là số vụ kiện phụ mà Đội \(A\) thắng là
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Xác suất thắng tương ứng là
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Vì không có trường hợp hòa ở đây, \(P_A\) chính xác là xác suất thắng trực tiếp câu hỏi chính (không có câu hỏi ước lượng).
Việc đếm chính xác hơn này làm dịch chuyển điểm tối ưu một chút so với phương pháp đa số đơn giản của các tế bào. Đối với Nhóm \(A\) các khu vực ứng dụng tối ưu sau đây được xác định.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Tất cả các cược trong khu vực này đều tối đa hóa xác suất thắng của Đội \(A\) Nếu bạn muốn đặt cược số tiền lớn nhất có thể trong số các cược có giá trị ngang nhau, bạn nên luôn sử dụng cạnh phải của khu vực này.
Một ví dụ:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Sau đó
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Ở đó
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Phạm vi tối ưu được áp dụng.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Do đó, cách sử dụng tối ưu nhất là
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Cách tiếp cận cũ xem xét toàn bộ tế bào sẽ gợi ý phạm vi \(9\leq y_a\leq 14\) . Số lượng trường hợp một phần cho thấy chính xác hơn rằng hai giá trị biên \(8\) và \(15\) cũng là tối ưu.
Góc nhìn của Đội B
Bây giờ chúng ta xem xét tình huống tương tự từ góc nhìn của đội xếp sau \(B\) . Ở đây, chúng ta cũng không chỉ đếm toàn bộ ô mà còn đếm từng mục \(B\) riêng lẻ trong bốn trường hợp con.
Vụ án
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Đội \(B\) luôn thua. Trong ba trường hợp còn lại, Đội \(B\) nhận được số lượng trường hợp phụ thắng được như sau với mức cược cố định \(y_b\) khi tính tổng trên tất cả các giá trị có thể có \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Cũng vậy
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
và xác suất chiến thắng tương ứng
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Đối với \(y_b\leq d\) điều này được đơn giản hóa thành
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Với \(y_b>d\) ta chỉ nhận được
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Đây là khu vực tối ưu cho Đội \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Đây là một sự điều chỉnh quan trọng so với phương pháp đa số tế bào thô sơ hơn: Mức cược tối ưu cho Đội \(B\) không nhất thiết chỉ có một giá trị duy nhất là \(1\) Ví dụ, nếu Đội \(A\) đang dẫn trước với \(d=8\) và Đội \(B\) có thể đặt cược tối đa \(22\) , thì tất cả các mức cược của \(B\) đều tối ưu xét về xác suất thắng.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Nguyên tắc vẫn tương tự: Đội đang bị dẫn trước không nên đặt cược quá cao một cách không cần thiết. Mặc dù đặt cược quá cao có thể cải thiện một số tình huống riêng lẻ, nhưng lại làm xấu đi những tình huống khác. Ngay khi \(y_b\) vượt quá mức thâm hụt \(d\) , đội \(B\) sẽ thua trong một tình huống tổng thể. Do đó, đội dẫn đầu đặt cược sao cho, trong tất cả các cược có thể có của đối thủ, họ thắng được càng nhiều tình huống riêng lẻ càng tốt.
Người theo đuổi không nhất thiết phải đặt cược chính xác một euro, mà nhiều nhất là bằng số tiền thiếu hụt. Câu hỏi chính do đó là một ví dụ điển hình cho thấy lý thuyết trò chơi được chứa đựng trong một quy tắc đố vui tưởng chừng đơn giản như thế nào: điều quan trọng không chỉ là ô nào sẽ chuyển sang màu xanh lam hay đỏ, mà là có bao nhiêu trong bốn trường hợp phụ bên trong ô đó thực sự được thắng.