Іноді одного питання у вечірній програмі (у цьому випадку від шановного ведучого Кая Пфлауме) достатньо, щоб перетворити нешкідливий фінал вікторини на незначну проблему оптимізації. Саме це відбувається на «Хто знає що?». Головне питання: Категорія відома, відповідь ще ні, але ставки вже визначають, які результати все ще хороші.
Візьмемо дві команди \(A\) та \(B\) . До останнього питання команда \(A\) виграла суму \(x_a\) , а команда \(B\) виграла суму \(x_b\) . Розглянемо випадок
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Тепер команди роблять ставки на цілі числа.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Якщо відповідь правильна, сума ставки додається; якщо відповідь неправильна, вона віднімається. Для чотирьох можливих результатів отримують наступні кінцеві результати.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
У шоу нічия призводить до питання оцінки. Тому вона залишається видимою в матриці як окремий випадок, позначений "=". Для відсоткових значень ймовірності виграшу ми враховуємо прямі перемоги у чотирьох рівноймовірних підвипадках. Шаблон типу \(|A|B|A|A|\) дає три прямі перемоги для команди \(A\) та одну для команди \(B\) . Нічия не вважається прямою перемогою для жодної з команд. Цей точніший підрахунок є критично важливим; недостатньо просто вважати всю клітинку "синьою" або "червоною".
Ця модель містить припущення: ми розглядаємо чотири комбінації відповідей як однаково ймовірні. Тому справа не в тому, хто краще знає категорію, Команда \(A\) чи Команда \(B\) , а лише в стратегії, яка була використана перед відповіддю.
Давайте
$$
d=x_a-x_b.
$$
Тоді \(d>0\) є перевагою команди \(A\) . Тепер питання: яка оптимальна ставка?
Повну матрицю можливих ставок можна розрахувати динамічно.:
Точка зору команди А
Спочатку ми розглянемо, коли команда \(A\) виграє з фіксованими ставками \(y_a\) та \(y_b\) .
Справа
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Це завжди йде до команди \(A\) , тому що
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Це застосовується автоматично, оскільки \(x_a>x_b\) та \(y_a,y_b>0\) .
Для інших трьох випадків ми отримуємо:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
При \(x_a=x_b+d\) це стає:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Отже:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Метод підрахунку зараз має вирішальне значення. Раніше можна було б спокуситися оцінити кожну клітинку виключно на основі того, чи містить вона більше \(A\) випадків, ніж \(B\) . Однак це занадто спрощено для розрахунку ймовірності виграшу. Чотири підвипадки самі по собі є рівноймовірними подіями. Тому \(|A|B|A|A|\) не вважається однією перемогою для \(A\) , а радше трьома виграними підвипадками для \(A\) .
Для фіксованої ставки \(y_a\) команди \(A\) ми підсумовуємо окремі записи \(A\) у чотирьох випадках за всіма можливими ставками \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Випадок « \(A\) правильно, \(B\) неправильно» завжди переходить до команди \(A\) . Це вже дає \(x_b\) виграних підвипадків.
Наведені нижче цифри отримані для трьох інших випадків.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Це означає, що кількість підкейсів, виграних Командою \(A\) дорівнює
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Відповідна ймовірність виграшу дорівнює
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Оскільки нічия тут не враховується, \(P_A\) — це саме та ймовірність виграшу в головному питанні безпосередньо (без оціночного питання).
Такий точніший підрахунок дещо зміщує оптимум порівняно з простою більшістю клітин. Для команди \(A\) отримано такі оптимальні області застосування.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Усі ставки в цій зоні максимізують ймовірність виграшу команди \(A\) Якщо ви хочете поставити максимально можливу суму серед однаково хороших ставок, вам завжди слід використовувати правий край зони.
Приклад:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Тоді
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Там
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Застосовується оптимальний діапазон.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Отже, найбільш оптимальне використання — це
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Старий підхід, що розглядав цілі клітини, передбачав би діапазон \(9\leq y_a\leq 14\) . Підрахунок часткових випадків показує точніше, що два граничні значення \(8\) та \(15\) також є оптимальними.
Точка зору команди B
Тепер розглянемо ту саму ситуацію з точки зору команди, що йде за командою \(B\) . Тут також ми враховуємо не лише цілі комірки, а окремі записи \(B\) у чотирьох підвипадках.
Справа
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Команда \(B\) завжди програє. У трьох випадках, що залишилися, команда \(B\) отримує таку кількість виграних підвипадків для фіксованої ставки \(y_b\) при підсумовуванні всіх можливих \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Так і є
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
та пов'язана з цим ймовірність виграшу
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Для \(y_b\leq d\) це спрощується до
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Для \(y_b>d\) отримується лише
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Це оптимальна зона для команди \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Це важливе виправлення порівняно з більш грубим підходом більшості клітин: оптимальна ставка для команди \(B\) не обов'язково однозначно дорівнює \(1\) Наприклад, якщо команда \(A\) лідирує з \(d=8\) , а команда \(B\) може поставити максимум \(22\) , тоді всі ставки для \(B\) є оптимальними щодо ймовірності виграшу.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Інтуїція залишається незмінною: команда, що програє, не повинна робити надмірно високі ставки. Хоча надмірно високі ставки покращують окремі сценарії, вони погіршують інші. Щойно \(y_b\) перевищує дефіцит \(d\) , команда \(B\) програє сценарій загалом. Тому команда, що лідирує, робить ставки таким чином, щоб серед усіх можливих ставок суперника виграти якомога більше окремих сценаріїв.
Переслідувач не обов'язково ставить рівно одне євро, а максимум стільки, скільки становить дефіцит. Таким чином, головне питання є гарним прикладом того, наскільки теорія ігор міститься в, здавалося б, простому правилі вікторини: важливо не лише те, яка клітинка виявляється синьою чи червоною, а й скільки з чотирьох підвипадків у цій клітинці насправді виграно.