時として、夕方の番組でたった1つの質問（この場合は、著名な司会者カイ・プフラウメ氏によるもの）が、無害なクイズ番組の最終回をちょっとした最適化問題に変えてしまうことがある。まさにそれが「Who Knows What?」で起こっていることだ。 主要な質問: カテゴリーは分かっているが、答えはまだ出ていない。しかし、その利害関係によって、どの結果が依然として良い結果と言えるかが既に決まっている。
2つのチーム\(A\)と\(B\)を考えてみましょう。最終問題の前に、チーム\(A\) \(x_a\)を獲得し、チーム\(B\)は\(x_b\)を獲得しました。次のケースを考えてみましょう。
$$
x_a > x_b > 0.
$$
現在、各チームは整数を賭けている。
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
正解の場合は賭け金が加算され、不正解の場合は賭け金が減算されます。考えられる4つの結果それぞれについて、最終スコアは以下のようになります。:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
番組では、同点の場合は推定問題になります。そのため、マトリックスでは別のケース「="」として表示されます。勝率のパーセンテージ値については、4 つの等確率のサブケースで直接の勝利を数えます。 \(|A|B|A|A|\)のようなパターンでは、チーム\(A\)が 3 回、チーム\(B\)が 1 回直接勝利します。同点はどちらのチームにとっても直接の勝利とはみなされません。このより正確なカウントが重要です。単にセル全体を「青」または「赤」としてカウントするだけでは不十分です。
このモデルには前提があります。それは、4つの回答の組み合わせはすべて同じ確率で起こりうるという前提です。したがって、重要なのは\(A\)チームと\(B\)チームのどちらがそのカテゴリーをよりよく理解しているかではなく、回答前にどのような戦略を用いたかという点だけです。
さあ
$$
d=x_a-x_b.
$$
すると\(d>0\)はチーム\(A\)の優位性となります。ここで問題となるのは、最適な賭け金はいくらかということです。
可能な賭けの完全なマトリックスは動的に計算できます。:
チームAの視点
まず、固定された賭け金\(y_a\)と\(y_b\)でチーム\(A\)が勝利する場合を調べます。
ケース
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
いつもチーム\(A\)に渡るのは、
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
これは\(x_a>x_b\)および\(y_a,y_b>0\)であるため自動的に適用されます。
他の３つのケースでは、:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\)の場合、これは次のようになります。:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
それで:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
カウント方法が重要になります。以前は、各セルを\(A\)のケースが\(B\)より多いかどうかのみに基づいて評価したくなるかもしれません。しかし、これは勝つ確率を計算するには単純すぎます。4 つのサブケースはそれぞれ等しい確率のイベントです。したがって、 \(|A|B|A|A|\)は\(A\)の 1 つの勝利としてカウントされるのではなく、 \(A\)の 3 つのサブケースの勝利としてカウントされます。
チーム\(A\)の固定された賭け金\(y_a\)に対して、すべての可能な賭け金\(y_b=1,2,\ldots,x_b\)について、4 つのケースにおける個々の\(A\)エントリを合計します。
\(A\)正解、 \(B\)不正解」の場合、常にチーム\(A\)が勝利します。これにより、すでに\(x_b\)サブケースが勝利となります。
他の3つのケースについては、以下の数値が得られます。:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
これは、チーム\(A\)が勝訴したサブケースの数を意味します。
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
対応する当選確率は
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
ここでは同点が含まれないため、 \(P_A\)はマスター問題に直接勝つ確率（推定問題なし）と全く同じです。
このより精密な計数方法を用いると、単純な多数決による計数方法と比較して最適値がわずかにずれる。チーム\(A\)以下の最適な適用領域が得られる。:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
このエリア内のすべての賭けは、チーム\(A\)の勝利確率を最大化します。同等の勝率を持つ賭けの中で、可能な限り最大の金額を賭けたい場合は、常にこのエリアの右端を利用するべきです。
例:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
次に
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
そこには
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
最適な範囲が適用されます。
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
したがって、最も最適な使用法は
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
従来の全セルを考慮するアプローチでは\(9\leq y_a\leq 14\)の範囲が示唆されていたでしょう。部分的なケースカウントでは、2つの境界値\(8\)と\(15\)も最適であることがより正確に示されています。
チームBの視点
次に、同じ状況を後続チーム\(B\)の視点から考えてみましょう。ここでも、セル全体だけでなく、4 つのサブケースにおける個々の\(B\)エントリを数えます。
ケース
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
チーム\(B\)常に負けます。残りの3つのケースでは、チーム\(B\) 、すべての可能なy_a = 1, 2, ..., x_aについて合計すると、固定された賭け金\(y_b\)に対して、次の数の勝利サブケースを受け取ります\(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
そうです
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
そして、それに伴う勝利の確率
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\)の場合、これは次のように簡略化されます。
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\)の場合、得られるのは
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
ここはチーム\(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
これは、より粗雑なセル多数決アプローチと比較した重要な修正点です。チーム\(B\)にとって最適な賭け金は必ずしも\(1\)とは限りません。例えば、チーム\(A\)が\(d=8\)でリードしていて、チーム\(B\)最大\(22\)まで賭けられる場合、 \(B\)のすべての賭け金は、勝つ確率に関して最適となります。:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
基本的な考え方は変わりません。劣勢のチームは不必要に高い賭け金をかけるべきではありません。過度に高い賭け金は個々のシナリオを改善する一方で、他のシナリオを悪化させます。y_b \(y_b\)赤字\(d\)を超えると、チーム\(B\)シナリオ全体で敗北します。したがって、優勢のチームは、相手チームが可能なすべての賭けにおいて、可能な限り多くの個々のシナリオで勝利できるよう賭け金を調整します。
追う側は必ずしも正確に1ユーロを賭ける必要はなく、最大でも赤字額までしか賭けない。したがって、この主要な問題は、一見単純なクイズのルールの中にどれだけのゲーム理論が込められているかを示す良い例と言える。重要なのは、どのマスが青か赤になるかだけでなく、そのマス内の4つのサブケースのうち、実際に勝てるケースがいくつあるかということなのだ。