Kadhangkala mung siji pitakonan ing program sore (ing kasus iki saka presenter Kai Pflaume sing dihormati) wis cukup kanggo ngowahi acara kuis pungkasan sing ora mbebayani dadi masalah optimasi cilik. Kuwi persis sing kedadeyan ing "Who Knows What?" Pitakonan utama: Kategorine wis dingerteni, jawabane durung - nanging taruhane wis nemtokake asil endi sing isih apik.
Ayo njupuk rong tim \(A\) lan \(B\) . Sadurunge pitakonan pungkasan, tim \(A\) wis menang jumlah \(x_a\) , lan tim \(B\) wis menang jumlah \(x_b\) . Kita nimbang kasus kasebut
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Tim-tim saiki lagi pasang taruhan nganggo angka bulat.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Yen wangsulane bener, jumlah sing dipertaruhake bakal ditambahake; yen wangsulane salah, bakal dikurangi. Kanggo papat kemungkinan asil, skor pungkasan ing ngisor iki bakal katon.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Ing acara kasebut, imbang ndadékaké pitakonan prakiraan. Mulane, tetep katon ing matriks minangka kasus kapisah "=". Kanggo nilai persentase probabilitas menang, kita ngetung kamenangan langsung ing papat sub-kasus sing padha kemungkinane. Pola kaya \(|A|B|A|A|\) ngasilake telung kamenangan langsung kanggo Tim \(A\) lan siji kanggo Tim \(B\) . Imbang ora diitung minangka kamenangan langsung kanggo salah siji tim. Cacah sing luwih tepat iki penting banget; ora cukup mung ngetung kabeh sel minangka "biru" utawa "abang".
Model iki ngandhut asumsi: Kita nganggep papat kombinasi jawaban kasebut minangka kemungkinan sing padha. Mulane, iki dudu babagan apa Tim \(A\) utawa Tim \(B\) luwih ngerti kategori kasebut, nanging mung babagan strategi sing digunakake sadurunge jawaban kasebut.
Ayo
$$
d=x_a-x_b.
$$
Banjur \(d>0\) minangka kauntungan saka tim \(A\) . Pitakonane saiki yaiku: Apa taruhan optimal?
Matriks lengkap saka kemungkinan taruhan bisa diitung kanthi dinamis.:
Perspektif Tim A
Kapisan, kita nliti kapan Tim \(A\) menang nganggo taruhan tetep \(y_a\) lan \(y_b\) .
Kasus kasebut
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Iku mesthi menyang Tim \(A\) , amarga
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Iki ditrapake kanthi otomatis amarga \(x_a>x_b\) lan \(y_a,y_b>0\) .
Kanggo telung kasus liyane, kita nampa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Kanthi \(x_a=x_b+d\) iki dadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Dadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Cara ngetung saiki dadi penting banget. Sadurunge, wong bisa uga kepengin ngevaluasi saben sel mung adhedhasar apa isine luwih akeh kasus \(A\) tinimbang \(B\) . Nanging, iki prasaja banget kanggo ngetung kemungkinan menang. Papat sub-kasus kasebut dhewe minangka kedadeyan sing padha-padha mungkin. Mulane, \(|A|B|A|A|\) ora diitung minangka siji kamenangan kanggo \(A\) , nanging luwih minangka telung sub-kasus sing dimenangake kanggo \(A\) .
Kanggo taruhan tetep \(y_a\) saka tim \(A\) mula kita jumlahake entri \(A\) individu ing papat kasus saka kabeh taruhan sing bisa \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Kasus " \(A\) bener, \(B\) salah" mesthi menyang tim \(A\) . Iki wis ngasilake subkasus sing dimenangake \(x_b\) .
Asil angka ing ngisor iki kanggo telung kasus liyane.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Iki tegese jumlah subkasus sing dimenangake dening Tim \(A\) yaiku
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Probabilitas menang sing cocog yaiku
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Amarga seri ora kalebu ing kene, \(P_A\) persis karo kemungkinan menang pitakonan master kanthi langsung (tanpa pitakonan estimasi).
Cacahan sing luwih tepat iki rada ngowahi optimal dibandhingake karo mayoritas sel sing prasaja. Kanggo Tim \(A\) asil area aplikasi optimal ing ngisor iki.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Kabeh taruhan ing wilayah iki ngoptimalake kemungkinan menang Tim \(A\) Yen sampeyan pengin masang taruhan kanthi jumlah paling gedhe ing antarane taruhan sing padha apik, sampeyan kudu tansah nggunakake pinggir tengen area kasebut.
Tuladha:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Banjur
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Ing kono
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Rentang optimal ditrapake.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Mulane, panggunaan optimal paling gedhe yaiku
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Pendekatan lawas kanggo nimbang sel utuh bakal menehi saran rentang \(9\leq y_a\leq 14\) . Cacah kasus parsial nuduhake kanthi luwih tepat manawa rong nilai wates \(8\) lan \(15\) uga optimal.
Perspektif Tim B
Saiki kita nimbang kahanan sing padha saka perspektif tim sing ana ing mburi \(B\) . Ing kene uga, kita ora mung ngetung kabeh sel, nanging entri \(B\) individu ing papat subkasus kasebut.
Kasus kasebut
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Tim \(B\) mesthi kalah. Ing telung kasus sing isih ana, Tim \(B\) nampa jumlah sub-kasus sing dimenangake kanggo taruhan tetep \(y_b\) nalika ngjumlahake kabeh kemungkinan \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Mangkono uga
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
lan kemungkinan menang sing ana gandhengane
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Kanggo \(y_b\leq d\) iki nyederhanakake dadi
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Kanggo \(y_b>d\) mung entuk
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Iki minangka area optimal kanggo Tim \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Iki minangka koreksi penting dibandhingake karo pendekatan mayoritas sel sing luwih kasar: Taruhan optimal kanggo Tim \(B\) ora mesthi unik \(1\) Contone, yen Tim \(A\) unggul kanthi \(d=8\) lan Tim \(B\) bisa masang taruhan paling akeh \(22\) , mula kabeh taruhan kanggo \(B\) optimal gegayutan karo kemungkinan menang.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuisine tetep padha: Tim sing ketinggalan ora kena masang taruhan sing dhuwur banget. Nalika taruhan sing dhuwur banget nambah skenario individu, nanging malah nambah skenario liyane. Sanalika \(y_b\) ngluwihi defisit \(d\) , tim \(B\) kalah skenario sakabèhé. Mulane, tim sing unggul masang taruhan kanthi cara sing, ing kabeh taruhan sing bisa ditindakake dening mungsuh, dheweke menang skenario individu sabisa-bisane.
Sing ngoyak ora mesthi masang taruhan persis sak euro, nanging paling akeh sak defisit. Pitakonan utama mula minangka conto sing apik babagan sepira akehe teori game sing ana ing aturan kuis sing katon prasaja: sing penting ora mung sel endi sing pungkasane biru utawa abang, nanging pira saka papat sub-kasus ing sel kasebut sing bener-bener dimenangake.