Kadangkala satu soalan dalam program awal petang (dalam kes ini daripada penyampai yang dihormati, Kai Pflaume) sudah cukup untuk mengubah acara kemuncak rancangan kuiz yang tidak berbahaya menjadi masalah pengoptimuman kecil. Itulah sebenarnya yang berlaku dalam "Who Knows What?" Soalan utama: Kategorinya sudah diketahui, jawapannya belum lagi – tetapi taruhannya sudah menentukan hasil mana yang masih baik.
Mari kita ambil dua pasukan \(A\) dan \(B\) . Sebelum soalan terakhir, pasukan \(A\) telah memenangi jumlah \(x_a\) , dan pasukan \(B\) telah memenangi jumlah \(x_b\) . Kita mempertimbangkan kes tersebut
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Pasukan-pasukan kini bertaruh dengan nombor bulat.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Jika jawapan betul, jumlah yang dipertaruhkan akan ditambah; jika jawapan salah, ia akan ditolak. Bagi empat hasil yang mungkin, skor akhir berikut akan terhasil.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Dalam rancangan ini, keputusan seri membawa kepada soalan anggaran. Oleh itu, ia kekal kelihatan dalam matriks sebagai kes berasingan "=". Bagi nilai peratusan kebarangkalian kemenangan, kita mengira kemenangan langsung dalam empat subkes yang sama kemungkinannya. Corak seperti \(|A|B|A|A|\) menghasilkan tiga kemenangan langsung untuk Pasukan \(A\) dan satu untuk Pasukan \(B\) . Keputusan seri tidak dikira sebagai kemenangan langsung untuk mana-mana pasukan. Pengiraan yang lebih tepat ini adalah penting; tidak mencukupi untuk hanya mengira keseluruhan sel sebagai "biru" atau "merah".
Model ini mengandungi andaian: Kita menganggap empat kombinasi jawapan sebagai sama kemungkinan. Oleh itu, ia bukan tentang sama ada Pasukan \(A\) atau Pasukan \(B\) lebih mengetahui kategori tersebut, tetapi hanya tentang strategi yang digunakan sebelum menjawab.
Mari kita
$$
d=x_a-x_b.
$$
Maka \(d>0\) ialah kelebihan pasukan \(A\) . Persoalannya sekarang ialah: Apakah taruhan optimum?
Matriks lengkap pertaruhan yang mungkin boleh dikira secara dinamik.:
Perspektif Pasukan A
Kita mula-mula mengkaji bila Pasukan \(A\) menang dengan taruhan tetap \(y_a\) dan \(y_b\) .
Kes itu
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Ia sentiasa pergi ke Pasukan \(A\) , kerana
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Ini terpakai secara automatik kerana \(x_a>x_b\) dan \(y_a,y_b>0\) .
Bagi tiga kes yang lain, kami menerima:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Dengan \(x_a=x_b+d\) ini menjadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Jadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Kaedah pengiraan kini penting. Sebelum ini, seseorang mungkin tergoda untuk menilai setiap sel semata-mata berdasarkan sama ada ia mengandungi lebih banyak kes \(A\) daripada \(B\) . Walau bagaimanapun, ini terlalu mudah untuk mengira kebarangkalian menang. Empat subkes itu sendiri merupakan peristiwa yang sama mungkin. Oleh itu, \(|A|B|A|A|\) tidak dikira sebagai satu kemenangan untuk \(A\) , tetapi sebaliknya sebagai tiga subkes yang dimenangi untuk \(A\) .
Untuk pegangan tetap \(y_a\) bagi pasukan \(A\) oleh itu, kami menjumlahkan entri \(A\) individu dalam empat kes ke atas semua pegangan yang mungkin \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Kes " \(A\) betul, \(B\) salah" sentiasa diberikan kepada pasukan \(A\) . Ini sudah menghasilkan subkes \(x_b\) yang dimenangi.
Nombor-nombor berikut merupakan keputusan untuk tiga kes yang lain.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Ini bermakna bilangan subkes yang dimenangi oleh Pasukan \(A\) ialah
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Kebarangkalian kemenangan yang sepadan ialah
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Oleh kerana keputusan seri tidak disertakan di sini, \(P_A\) ialah kebarangkalian untuk memenangi soalan induk secara langsung (tanpa soalan anggaran).
Pengiraan yang lebih tepat ini sedikit sebanyak mengubah optimum berbanding majoriti sel yang mudah. Bagi Pasukan \(A\) kawasan aplikasi optimum berikut terhasil.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Semua pertaruhan dalam kawasan ini memaksimumkan kebarangkalian Pasukan \(A\) untuk menang. Jika anda ingin bertaruh jumlah terbesar yang mungkin antara pertaruhan yang sama baik, anda harus sentiasa menggunakan tepi kanan kawasan tersebut.
Satu contoh:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Kemudian
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Di sana
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Julat optimum terpakai.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Oleh itu, penggunaan optimum yang paling tinggi adalah
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Pendekatan lama yang mempertimbangkan keseluruhan sel akan mencadangkan julat \(9\leq y_a\leq 14\) . Kiraan kes separa menunjukkan dengan lebih tepat bahawa dua nilai sempadan \(8\) dan \(15\) juga optimum.
Perspektif Pasukan B
Sekarang kita mempertimbangkan situasi yang sama dari perspektif pasukan yang ketinggalan \(B\) . Di sini juga, kita tidak lagi mengira keseluruhan sel sahaja, tetapi entri \(B\) individu dalam empat subkes.
Kes itu
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Pasukan \(B\) sentiasa kalah. Dalam tiga kes yang tinggal, Pasukan \(B\) menerima bilangan subkes yang dimenangi berikut untuk taruhan tetap \(y_b\) apabila menjumlahkan semua kemungkinan \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Begitu juga
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
dan kebarangkalian kemenangan yang berkaitan
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Untuk \(y_b\leq d\) ini memudahkan kepada
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Untuk \(y_b>d\) hanya mendapat
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Ini adalah kawasan optimum untuk Pasukan \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Ini merupakan pembetulan penting berbanding pendekatan majoriti sel yang lebih kasar: Pertaruhan optimum untuk Pasukan \(B\) tidak semestinya unik \(1\) Contohnya, jika Pasukan \(A\) mendahului dengan \(d=8\) dan Pasukan \(B\) boleh bertaruh paling banyak \(22\) , maka semua pertaruhan untuk \(B\) adalah optimum berkenaan dengan kebarangkalian menang.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuisinya tetap sama: Pasukan yang ketinggalan tidak seharusnya bertaruh terlalu tinggi. Walaupun pertaruhan yang terlalu tinggi meningkatkan senario individu, ia memburukkan lagi senario lain. Sebaik sahaja \(y_b\) melebihi defisit \(d\) , pasukan \(B\) kalah dalam senario keseluruhan. Oleh itu, pasukan yang mendahului bertaruh sedemikian rupa sehingga, merentasi semua pertaruhan yang mungkin oleh pihak lawan, mereka memenangi seberapa banyak senario individu yang mungkin.
Pengejar tidak semestinya bertaruh tepat satu euro, tetapi paling banyak sebanyak defisit. Oleh itu, soalan utama adalah contoh yang baik tentang berapa banyak teori permainan yang terkandung dalam peraturan kuiz yang nampaknya mudah: apa yang penting bukan sahaja sel mana yang berakhir dengan biru atau merah, tetapi berapa banyak daripada empat sub-kes dalam sel itu yang sebenarnya dimenangi.