Uneori, o singură întrebare din emisiunea de la începutul serii (în acest caz, din partea stimatului prezentator Kai Pflaume) este suficientă pentru a transforma un final inofensiv de concurs într-o problemă minoră de optimizare. Exact asta se întâmplă la „Cine știe ce?”. Întrebare principală: Categoria este cunoscută, răspunsul nu este încă cunoscut – dar miza determină deja care rezultate sunt încă bune.
Să luăm două echipe \(A\) și \(B\) . Înainte de întrebarea finală, echipa \(A\) câștigase suma \(x_a\) , iar echipa \(B\) câștigase suma \(x_b\) . Considerăm cazul
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Echipele pariază acum pe numere întregi.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Dacă răspunsul este corect, suma mizată este adăugată; dacă răspunsul este greșit, aceasta este scăzută. Pentru cele patru rezultate posibile, rezultă următoarele scoruri finale.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
În emisiune, o egalitate duce la o întrebare de estimare. Prin urmare, rămâne vizibilă în matrice ca un caz separat "=". Pentru valorile procentuale ale probabilității de câștig, numărăm victorii directe în cele patru sub-cazuri egal probabile. Un model precum \(|A|B|A|A|\) produce trei victorii directe pentru Echipa \(A\) și una pentru Echipa \(B\) . O egalitate nu contează ca o victorie directă pentru niciuna dintre echipe. Această numărare mai precisă este crucială; nu este suficient să numărăm pur și simplu o întreagă celulă ca fiind „albastră” sau „roșie”.
Acest model conține o presupunere: Tratăm cele patru combinații de răspunsuri ca fiind la fel de probabile. Prin urmare, nu este vorba despre dacă echipa \(A\) sau echipa \(B\) cunoaște mai bine categoria, ci doar despre strategia utilizată înainte de a răspunde.
Hai să
$$
d=x_a-x_b.
$$
Atunci \(d>0\) este avantajul echipei \(A\) . Întrebarea acum este: Care este miza optimă?
Matricea completă de pariuri posibile poate fi calculată dinamic.:
Perspectiva echipei A
Mai întâi examinăm când echipa \(A\) câștigă cu mize fixe \(y_a\) și \(y_b\) .
Cazul
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Merge întotdeauna la Echipa \(A\) , deoarece
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Aceasta se aplică automat deoarece \(x_a>x_b\) și \(y_a,y_b>0\) .
Pentru celelalte trei cazuri, primim:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Cu \(x_a=x_b+d\) aceasta devine:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Aşa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Metoda de numărare este acum crucială. Anterior, cineva putea fi tentat să evalueze fiecare celulă exclusiv pe baza faptului dacă aceasta conține mai multe cazuri \(A\) decât \(B\) . Cu toate acestea, acest lucru este prea simplist pentru calcularea probabilității de câștig. Cele patru sub-cazuri sunt ele însele evenimente egal probabile. Prin urmare, \(|A|B|A|A|\) nu contează ca o singură victorie pentru \(A\) , ci mai degrabă ca trei sub-cazuri câștigate pentru \(A\) .
Pentru o miză fixă \(y_a\) a echipei \(A\) însumăm, prin urmare, intrările individuale \(A\) în cele patru cazuri pentru toate mizele posibile \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Cazul „ \(A\) corect, \(B\) incorect” merge întotdeauna la echipa \(A\) . Aceasta produce deja \(x_b\) subcazuri câștigate.
Următoarele numere rezultă pentru celelalte trei cazuri.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Aceasta înseamnă că numărul de subcazuri câștigate de Echipa \(A\) este
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Probabilitatea corespunzătoare de câștig este
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Întrucât o egalitate nu este inclusă aici, \(P_A\) este exact probabilitatea de a câștiga direct întrebarea principală (fără o întrebare de estimare).
Această numărare mai precisă deplasează ușor optimul în comparație cu simpla majoritate a celulelor. Pentru Echipa \(A\) rezultă următoarele domenii optime de aplicare.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Toate pariurile din această zonă maximizează probabilitatea de câștig a Echipei \(A\) Dacă doriți să pariați cea mai mare sumă posibilă dintre pariurile la fel de bune, ar trebui să utilizați întotdeauna marginea dreaptă a zonei.
Un exemplu:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Apoi
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Acolo
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Se aplică intervalul optim.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Prin urmare, cea mai bună utilizare optimă este
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Vechea abordare de a considera celule întregi ar fi sugerat intervalul \(9\leq y_a\leq 14\) . Numărătoarea parțială a cazurilor arată mai precis că cele două valori limită \(8\) și \(15\) sunt, de asemenea, optime.
Perspectiva echipei B
Acum considerăm aceeași situație din perspectiva echipei din spate \(B\) . Nici aici nu mai numărăm doar celule întregi, ci intrările individuale \(B\) din cele patru subcazuri.
Cazul
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Echipa \(B\) pierde întotdeauna. În cele trei cazuri rămase, Echipa \(B\) primește următorul număr de sub-cazuri câștigate pentru o miză fixă \(y_b\) atunci când se însumează toate \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Așa este
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
și probabilitatea asociată de câștig
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Pentru \(y_b\leq d\) aceasta se simplifică la
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Pentru \(y_b>d\) se obține doar
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Aceasta este zona optimă pentru Echipa \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Aceasta este o corecție importantă în comparație cu abordarea mai rudimentară a majorității celulare: Pariul optim pentru Echipa \(B\) nu este neapărat unic \(1\) De exemplu, dacă Echipa \(A\) este în avantaj cu \(d=8\) și Echipa \(B\) poate paria cel mult \(22\) , atunci toate pariurile pentru \(B\) sunt optime în ceea ce privește probabilitatea de câștig.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuiția rămâne similară: echipa aflată în urmă nu ar trebui să parieze inutil de mult. În timp ce pariurile excesiv de mari îmbunătățesc scenariile individuale, acestea le înrăutățesc pe altele. De îndată ce \(y_b\) depășește deficitul \(d\) , echipa \(B\) pierde un scenariu per total. Prin urmare, echipa care conduce pariază în așa fel încât, pe toate pariurile posibile ale adversarului, să câștige cât mai multe scenarii individuale posibil.
Urmăritorul nu pariază neapărat exact un euro, ci cel mult cât deficitul. Întrebarea principală este, așadar, un bun exemplu al cât de multă teorie a jocurilor este conținută într-o regulă de test aparent simplă: ceea ce contează nu este doar care celulă ajunge albastră sau roșie, ci câte dintre cele patru sub-cazuri din acea celulă sunt de fapt câștigate.