گاهی اوقات یک سوال در برنامهی اوایل شب (در این مورد از مجری محترم، کای پفلوم) کافی است تا یک مسابقهی بیضررِ پایانی را به یک مسئلهی بهینهسازی جزئی تبدیل کند. این دقیقاً همان چیزی است که در برنامهی «چه کسی چه میداند؟» اتفاق میافتد. سوال استاد: دسته بندی مشخص است، پاسخ هنوز نه - اما ریسکها از قبل مشخص میکنند که کدام نتایج هنوز خوب هستند.
بیایید دو تیم \(A\) و \(B\) را در نظر بگیریم. قبل از سوال آخر، تیم \(A\) مبلغ \(x_a\) و تیم \(B\) مبلغ \(x_b\) را برنده شده بودند. حالت زیر را در نظر میگیریم:
$$
x_a > x_b > 0.
$$
تیمها اکنون روی اعداد صحیح شرطبندی میکنند.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
اگر پاسخ صحیح باشد، مبلغ شرطبندی شده اضافه میشود؛ اگر پاسخ نادرست باشد، از آن کم میشود. برای چهار نتیجه ممکن، نمرات نهایی زیر حاصل میشود.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
در نمایش، تساوی منجر به یک سوال تخمین میشود. بنابراین، در ماتریس به عنوان یک حالت جداگانه با علامت "=" قابل مشاهده باقی میماند. برای مقادیر درصد احتمال برد، بردهای مستقیم را در چهار زیرحالت با احتمال یکسان شمارش میکنیم. الگویی مانند \(|A|B|A|A|\) سه برد مستقیم برای تیم \(A\) و یک برد برای تیم \(B\) به همراه دارد. تساوی به عنوان برد مستقیم برای هیچ یک از تیمها محسوب نمیشود. این شمارش دقیقتر بسیار مهم است؛ کافی نیست که صرفاً یک سلول کامل را "آبی" یا "قرمز" بشماریم.
این مدل شامل یک فرض است: ما چهار ترکیب پاسخ را به یک اندازه محتمل میدانیم. بنابراین، مسئله این نیست که آیا تیم \(A\) یا تیم \(B\) دستهبندی را بهتر میشناسند، بلکه فقط در مورد استراتژی به کار رفته قبل از پاسخ دادن است.
بیایید
$$
d=x_a-x_b.
$$
پس \(d>0\) مزیت تیم \(A\) است. حال سوال این است: مبلغ بهینه چقدر است؟
ماتریس کامل شرطهای ممکن را میتوان به صورت پویا محاسبه کرد.:
دیدگاه تیم A
ابتدا بررسی میکنیم که چه زمانی تیم \(A\) با شرطهای ثابت \(y_a\) و \(y_b\) برنده میشود.
پرونده
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
همیشه به تیم \(A\) میرسد، زیرا
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
این به طور خودکار اعمال میشود زیرا \(x_a>x_b\) و \(y_a,y_b>0\) .
برای سه مورد دیگر، دریافت میکنیم:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
با \(x_a=x_b+d\) این میشود::
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
بنابراین:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
روش شمارش اکنون بسیار مهم است. پیش از این، ممکن بود وسوسه شویم که هر سلول را صرفاً بر اساس اینکه آیا تعداد موارد \(A\) آن بیشتر از \(B\) است یا خیر، ارزیابی کنیم. با این حال، این برای محاسبه احتمال برد بسیار سادهانگارانه است. چهار زیرحالت، خودشان رویدادهایی با احتمال یکسان هستند. بنابراین، \(|A|B|A|A|\) به عنوان یک برد برای \(A\) محسوب نمیشود، بلکه به عنوان سه زیرحالت برد برای \(A\) در نظر گرفته میشود.
برای یک شرط ثابت \(y_a\) برای تیم \(A\) بنابراین ورودیهای \(A\) را در چهار حالت روی تمام شرطهای ممکن \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) جمع میکنیم.
حالت « \(A\) درست، \(B\) نادرست» همیشه به تیم \(A\) میرسد. این از قبل زیرحالتهای \(x_b\) برنده را نتیجه میدهد.
اعداد زیر برای سه حالت دیگر حاصل میشوند.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
این یعنی تعداد زیرپروندههایی که تیم \(A\) برنده شده است، برابر است با
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
احتمال برد مربوطه برابر است با
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
از آنجایی که تساوی در اینجا لحاظ نشده است، \(P_A\) دقیقاً احتمال برنده شدن در سوال اصلی به طور مستقیم (بدون سوال تخمین) است.
این شمارش دقیقتر، مقدار بهینه را در مقایسه با اکثریت ساده سلولها، کمی تغییر میدهد. برای تیم \(A\) حوزههای کاربردی بهینه زیر حاصل میشود.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
تمام شرطبندیهای این ناحیه، احتمال برد تیم \(A\) را به حداکثر میرسانند. اگر میخواهید بیشترین مبلغ ممکن را در بین شرطهای به یک اندازه خوب شرطبندی کنید، همیشه باید از لبه سمت راست ناحیه استفاده کنید.
یک مثال:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
سپس
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
آنجا
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
محدوده بهینه اعمال میشود.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
بنابراین، بهترین استفاده بهینه این است که
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
رویکرد قدیمی در نظر گرفتن کل سلولها، محدوده \(9\leq y_a\leq 14\) را پیشنهاد میکرد. شمارش جزئی موارد با دقت بیشتری نشان میدهد که دو مقدار مرزی \(8\) و \(15\) نیز بهینه هستند.
دیدگاه تیم B
حالا همین وضعیت را از دیدگاه تیم دنبالکننده \(B\) در نظر میگیریم. در اینجا نیز، دیگر فقط کل سلولها را نمیشماریم، بلکه تک تک ورودیهای \(B\) را در چهار زیرحالت شمارش میکنیم.
پرونده
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
تیم \(B\) همیشه بازنده است. در سه حالت باقی مانده، تیم \(B\) تعداد زیرحالتهای برنده شده زیر را برای شرط ثابت \(y_b\) هنگام جمع کردن تمام \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
همینطور است
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
و احتمال برد مرتبط
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
برای \(y_b\leq d\) این به صورت زیر ساده میشود:
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
برای \(y_b>d\) فقط میتوان به این نتیجه رسید
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
این منطقه بهینه برای تیم \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
این یک اصلاح مهم در مقایسه با رویکرد اکثریت سلول خام است: شرط بهینه برای تیم \(B\) لزوماً منحصراً \(1\) نیست. برای مثال، اگر تیم \(A\) با \(d=8\) جلو باشد و تیم \(B\) حداکثر بتواند \(22\) شرط ببندد، آنگاه همه شرطها برای \(B\) با توجه به احتمال برد بهینه هستند.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
شهود همچنان مشابه است: تیم عقب مانده نباید بیجهت شرطهای بالا ببندد. در حالی که شرطهای بیش از حد بالا سناریوهای فردی را بهبود میبخشند، سناریوهای دیگر را بدتر میکنند. به محض اینکه \(y_b\) از کسری \(d\) بیشتر شود، تیم \(B\) در کل یک سناریو را میبازد. بنابراین، تیم پیشرو به گونهای شرط بندی میکند که در تمام شرطهای ممکن توسط حریف، تا حد امکان سناریوهای فردی را ببرد.
فرد دنبالکننده لزوماً دقیقاً یک یورو شرط نمیبندد، بلکه حداکثر به اندازه کسری شرط میبندد. بنابراین، سوال اصلی مثال خوبی از این است که نظریه بازیها چقدر در یک قانون به ظاهر ساده مسابقه گنجانده شده است: آنچه مهم است نه تنها این است که کدام خانه آبی یا قرمز میشود، بلکه این است که چند مورد از چهار زیرحالت درون آن خانه واقعاً برنده میشوند.