Soms is één enkele vraag in het programma van de vroege avond (in dit geval van de gewaardeerde presentator Kai Pflaume) genoeg om een onschuldige quizfinale te veranderen in een klein optimalisatieprobleem. Dat is precies wat er gebeurt bij "Wie weet wat?". Hoofdvraag: De categorie is bekend, het antwoord nog niet – maar de inzet bepaalt al welke uitkomsten nog steeds goed zijn.
Laten we twee teams nemen \(A\) en \(B\) . Vóór de laatste vraag had team \(A\) het bedrag \(x_a\) gewonnen en team \(B\) het bedrag \(x_b\) . We beschouwen het volgende geval.
$$
x_a > x_b > 0.
$$
De teams zetten nu in op hele getallen.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Als het antwoord correct is, wordt de ingezette hoeveelheid toegevoegd; als het antwoord incorrect is, wordt deze afgetrokken. Voor de vier mogelijke uitkomsten gelden de volgende eindscores.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
In de show leidt een gelijkspel tot een schattingsvraag. Daarom blijft het in de matrix zichtbaar als een apart geval "=". Voor de procentuele waarden van de winstkans tellen we directe overwinningen in de vier even waarschijnlijke subgevallen. Een patroon zoals \(|A|B|A|A|\) levert drie directe overwinningen op voor Team \(A\) en één voor Team \(B\) . Een gelijkspel telt niet als een directe overwinning voor beide teams. Deze nauwkeurigere telling is cruciaal; het is niet voldoende om simpelweg een hele cel als "blauw" of "rood" te tellen.
Dit model bevat een aanname: we beschouwen de vier antwoordcombinaties als even waarschijnlijk. Het gaat er dus niet om of Team \(A\) of Team \(B\) de categorie beter kent, maar alleen om de strategie die vóór het antwoord werd gehanteerd.
Laten we
$$
d=x_a-x_b.
$$
Dan is \(d>0\) het voordeel van team \(A\) . De vraag is nu: wat is de optimale inzet?
De volledige matrix van mogelijke weddenschappen kan dynamisch worden berekend.:
Het perspectief van Team A
We onderzoeken eerst wanneer Team \(A\) wint met vaste inzetten \(y_a\) en \(y_b\) .
De zaak
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Het gaat altijd naar Team \(A\) , omdat
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Dit geldt automatisch omdat \(x_a>x_b\) en \(y_a,y_b>0\) .
Voor de andere drie gevallen ontvangen we:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Met \(x_a=x_b+d\) wordt dit:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Dus:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
De telmethode is nu cruciaal. Voorheen zou men geneigd kunnen zijn elke cel uitsluitend te beoordelen op basis van het aantal gevallen \(A\) dan van \(B\) . Dit is echter te simplistisch voor het berekenen van de winstkans. De vier subgevallen zijn immers even waarschijnlijk. Daarom telt \(|A|B|A|A|\) niet als één enkele winst voor \(A\) , maar als drie gewonnen subgevallen voor \(A\) .
Voor een vaste inzet \(y_a\) van team \(A\) tellen we daarom de individuele \(A\) -waarden in de vier gevallen op over alle mogelijke inzetten \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Het geval " \(A\) correct, \(B\) incorrect" wordt altijd gewonnen door team \(A\) . Dit levert al \(x_b\) gewonnen subgevallen op.
Voor de drie andere gevallen gelden de volgende getallen.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Dit betekent dat het aantal subzaken dat Team \(A\) heeft gewonnen, is
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
De bijbehorende kans om te winnen is
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Omdat een gelijkspel hier niet is inbegrepen, is \(P_A\) precies de kans om de hoofdvraag direct te winnen (zonder een schattingsvraag).
Deze nauwkeurigere telling verschuift het optimum enigszins ten opzichte van de eenvoudige meerderheid van cellen. Voor Team \(A\) ontstaan de volgende optimale toepassingsgebieden.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Alle weddenschappen in dit gebied maximaliseren de winstkans van Team \(A\) Als je het grootst mogelijke bedrag wilt inzetten van alle gelijkwaardige weddenschappen, moet je altijd de rechterkant van het gebied gebruiken.
Een voorbeeld:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Dan
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Daar
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Het optimale bereik is van toepassing.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Het meest optimale gebruik is daarom
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
De oude benadering, waarbij hele cellen werden beschouwd, zou het bereik \(9\leq y_a\leq 14\) hebben gesuggereerd. De gedeeltelijke telling van de gevallen laat preciezer zien dat de twee grenswaarden \(8\) en \(15\) ook optimaal zijn.
Het perspectief van team B
Nu bekijken we dezelfde situatie vanuit het perspectief van het achtervolgende team \(B\) . Ook hier tellen we niet langer alleen hele cellen, maar de individuele \(B\) -vermeldingen in de vier subgevallen.
De zaak
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Team \(B\) verliest altijd. In de drie resterende gevallen ontvangt Team \(B\) het volgende aantal gewonnen deelgevallen voor een vaste inzet \(y_b\) wanneer alle mogelijke \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Zo is
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
en de bijbehorende winstkans
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Voor \(y_b\leq d\) vereenvoudigt dit tot
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Voor \(y_b>d\) krijgt men alleen het volgende:
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Dit is het optimale gebied voor Team \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Dit is een belangrijke correctie ten opzichte van de grovere benadering van celmeerderheid: de optimale inzet voor Team \(B\) is niet per se uniek \(1\) Als Team \(A\) bijvoorbeeld een voorsprong heeft van \(d=8\) en Team \(B\) maximaal \(22\) kan inzetten, dan zijn alle inzetten voor \(B\) optimaal met betrekking tot de winstkans.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
De intuïtie blijft hetzelfde: het achterliggende team moet niet onnodig hoog inzetten. Hoewel buitensporig hoge inzetten individuele scenario's verbeteren, verslechteren ze andere. Zodra \(y_b\) de achterstand \(d\) overschrijdt, verliest team \(B\) een scenario in zijn geheel. Daarom zet het leidende team zo in dat ze, over alle mogelijke inzetten van de tegenstander heen, zoveel mogelijk individuele scenario's winnen.
De achtervolger zet niet per se precies één euro in, maar hoogstens zoveel als het tekort. De hoofdvraag is daarmee een goed voorbeeld van hoeveel speltheorie er schuilgaat in een ogenschijnlijk simpele quizregel: het gaat er niet alleen om welk vakje blauw of rood wordt, maar ook hoeveel van de vier subgevallen binnen dat vakje daadwerkelijk gewonnen worden.