Երբեմն երեկոյան վաղ հաղորդման մեկ հարցը (այս դեպքում՝ հարգարժան հաղորդավար Կայ Պֆլաումեի կողմից) բավարար է, որպեսզի անվնաս վիկտորինայի եզրափակիչը վերածվի փոքր օպտիմալացման խնդրի: Հենց դա է տեղի ունենում «Ո՞վ գիտի ինչ» հաղորդման ժամանակ: Գլխավոր հարց: Կատեգորիան հայտնի է, պատասխանը՝ դեռ ոչ, բայց խաղադրույքներն արդեն որոշում են, թե որ արդյունքներն են դեռևս լավը։
Վերցնենք երկու թիմ \(A\) և \(B\) : Վերջին հարցից առաջ \(A\) թիմը շահել էր \(x_a\) գումարը, իսկ \(B\) թիմը՝ \(x_b\) գումարը: Մենք դիտարկում ենք դեպքը
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Թիմերը հիմա խաղադրույք են կատարում ամբողջ թվերի վրա։
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Եթե պատասխանը ճիշտ է, գումարվում է խաղադրույքի գումարը, եթե պատասխանը սխալ է, հանվում է։ Չորս հնարավոր արդյունքների համար ստացվում են հետևյալ վերջնական միավորները։:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Շոուում ոչ-ոքին հանգեցնում է գնահատման հարցի։ Հետևաբար, այն մատրիցում մնում է տեսանելի որպես առանձին «=» դեպք։ Հաղթանակի հավանականության տոկոսային արժեքների համար մենք հաշվում ենք ուղիղ հաղթանակները չորս հավասարապես հավանական ենթադեպքերում։ \(|A|B|A|A|\) նման օրինաչափությունը տալիս է երեք ուղիղ հաղթանակ \(A\) թիմի և մեկ \(B\) թիմի համար։ Ոչ-ոքին չի հաշվվում որպես ուղիղ հաղթանակ որևէ թիմի համար։ Այս ավելի ճշգրիտ հաշվարկը կարևոր է. բավարար չէ պարզապես ամբողջ բջիջը համարել «կապույտ» կամ «կարմիր»։
Այս մոդելը պարունակում է մի ենթադրություն. մենք չորս պատասխանների համադրությունները համարում ենք հավասարապես հավանական։ Հետևաբար, խոսքը այն մասին չէ, թե արդյոք \(A\) թիմը, թե \(B\) թիմը ավելի լավ գիտեն կատեգորիան, այլ միայն պատասխանելուց առաջ կիրառված ռազմավարության մասին։
Եկեք
$$
d=x_a-x_b.
$$
Այդ դեպքում \(d>0\) ը \(A\) թիմի առավելությունն է։ Հարցն այժմ հետևյալն է՝ ո՞րն է օպտիմալ խաղադրույքը։
Հնարավոր խաղադրույքների ամբողջական մատրիցը կարող է հաշվարկվել դինամիկ կերպով։:
A թիմի տեսակետը
Սկզբում մենք կուսումնասիրենք, թե երբ է թիմ \(A\) ն հաղթում \(y_a\) և \(y_b\) ֆիքսված խաղադրույքներով։
Դեպքը
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Այն միշտ գնում է \(A\) թիմին, քանի որ
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Սա կիրառվում է ավտոմատ կերպով, քանի որ \(x_a>x_b\) և \(y_a,y_b>0\) ։
Մյուս երեք դեպքերի համար մենք ստանում ենք:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
\(x_a=x_b+d\) դեպքում սա դառնում է:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Այսպիսով:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Հաշվարկման մեթոդն այժմ կարևորագույն նշանակություն ունի։ Նախկինում կարելի էր գայթակղվել գնահատել յուրաքանչյուր բջիջ միայն նրա հիման վրա, թե արդյոք այն պարունակում է ավելի շատ \(A\) դեպքեր, քան \(B\) ։ Սակայն սա չափազանց պարզեցված է հաղթանակի հավանականությունը հաշվարկելու համար։ Չորս ենթադեպքերը ինքնին հավասարապես հավանական իրադարձություններ են։ Հետևաբար, \(|A|B|A|A|\) չի հաշվվում որպես \(A\) -ի մեկ հաղթանակ, այլ որպես \(A\) ի երեք հաղթած ենթադեպքեր։
Հետևաբար \(A\) թիմի ֆիքսված խաղադրույքի \(y_a\) դեպքում մենք գումարում ենք չորս դեպքերում առանձին \(A\) գրառումները բոլոր հնարավոր խաղադրույքների համար \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) :
« \(A\) ճիշտ, \(B\) սխալ» դեպքը միշտ անցնում է \(A\) թիմին։ Սա արդեն իսկ տալիս է \(x_b\) հաղթած ենթադեպքեր։
Հետևյալ թվերը ստացվում են մյուս երեք դեպքերի համար։:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Սա նշանակում է, որ թիմ \(A\) -ի կողմից հաղթած ենթադեպերի քանակը
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Հաղթանակի համապատասխան հավանականությունը հավասար է
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Քանի որ ոչ-ոքին այստեղ ներառված չէ, \(P_A\) ն հենց գլխավոր հարցում ուղղակիորեն հաղթելու հավանականությունն է (առանց գնահատականային հարցի):
Այս ավելի ճշգրիտ հաշվարկը փոքր-ինչ տեղաշարժում է օպտիմալը՝ համեմատած բջիջների պարզ մեծամասնության հետ։ \(A\) թիմի համար ստացվում են հետևյալ օպտիմալ կիրառման ոլորտները։:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Այս տարածքում բոլոր խաղադրույքները մեծացնում են \(A\) թիմի հաղթանակի հավանականությունը։ Եթե ցանկանում եք խաղադրույք կատարել հավասարապես լավ խաղադրույքների մեջ հնարավոր ամենամեծ գումարի չափով, միշտ պետք է օգտագործեք տարածքի աջ եզրը։
Օրինակ:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Հետո
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Այնտեղ
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Կիրառվում է օպտիմալ միջակայքը։
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Հետևաբար, առավելագույն օպտիմալ օգտագործումը
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Ամբողջական բջիջները դիտարկելու հին մոտեցումը կառաջարկեր \(9\leq y_a\leq 14\) միջակայքը։ Մասնակի դեպքերի հաշվարկն ավելի ճշգրիտ ցույց է տալիս, որ երկու սահմանային արժեքները \(8\) և \(15\) նույնպես օպտիմալ են։
B թիմի տեսակետը
Հիմա մենք նույն իրավիճակը դիտարկում ենք հաջորդող \(B\) թիմի տեսանկյունից։ Այստեղ նույնպես մենք այլևս չենք հաշվում միայն ամբողջական բջիջները, այլև չորս ենթադեպքերի առանձին \(B\) գրառումները։
Դեպքը
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Թիմ \(B\) ն միշտ պարտվում է։ Մնացած երեք դեպքերում, բոլոր հնարավոր \(y_a=1,2,\ldots,x_a\) թվերը գումարելիս, Թիմ \(B\) ստանում է հետևյալ թվով հաղթած ենթադեպքեր՝ \(y_b\) ֆիքսված խաղադրույքի համար։:
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Այդպես էլ կա
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
և դրան կից հաղթանակի հավանականությունը
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
\(y_b\leq d\) -ի դեպքում սա պարզեցվում է
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
\(y_b>d\) -ի դեպքում ստացվում է միայն
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Սա թիմ \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Սա կարևոր ուղղում է ավելի կոպիտ բջջային մեծամասնության մոտեցման համեմատ. \(B\) թիմի համար օպտիմալ խաղադրույքը պարտադիր չէ, որ միանշանակ \(1\) լինի: Օրինակ, եթե \(A\) թիմը առջևում է \(d=8\) ով, և \(B\) թիմը կարող է խաղադրույք կատարել առավելագույնը \(22\) , ապա \(B\) ի համար բոլոր խաղադրույքները օպտիմալ են հաղթելու հավանականության առումով::
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Ինտուիցիան մնում է նույնը. հետ մնացող թիմը չպետք է չափազանց բարձր խաղադրույք կատարի։ Մինչդեռ չափազանց բարձր խաղադրույքները բարելավում են անհատական սցենարները, դրանք վատթարացնում են մյուսները։ Հենց որ \(y_b\) գերազանցում է \(d\) դեֆիցիտը, \(B\) թիմը ընդհանուր առմամբ պարտվում է սցենարում։ Հետևաբար, առաջատար թիմը խաղադրույք է կատարում այնպես, որ հակառակորդի բոլոր հնարավոր խաղադրույքներում նրանք հաղթեն որքան հնարավոր է շատ անհատական սցենարներում։
Հետապնդողը պարտադիր չէ, որ խաղադրույք կատարի ճիշտ մեկ եվրոյի վրա, այլ առավելագույնը այնքան, որքան դեֆիցիտն է։ Այսպիսով, գլխավոր հարցը լավ օրինակ է այն բանի, թե որքան խաղային տեսություն է պարունակվում թվացյալ պարզ թեստային կանոնում. կարևորը ոչ միայն այն է, թե որ բջիջն է կապույտ կամ կարմիր դառնում, այլև այդ բջիջի չորս ենթադեպքերից քանիսն են իրականում հաղթում։