أحيانًا، يكفي سؤال واحد في برنامج مسائي مبكر (في هذه الحالة من المذيع المرموق كاي فلاوم) لتحويل الحلقة الأخيرة من برنامج مسابقات عادي إلى مسألة تحسين بسيطة. هذا بالضبط ما يحدث في برنامج "من يدري ماذا؟" الأسئلة الرئيسية: الفئة معروفة، والإجابة غير معروفة بعد - لكن المخاطر تحدد بالفعل النتائج التي لا تزال جيدة.
لنفترض وجود فريقين \(A\) \(B\) . قبل السؤال الأخير، فاز الفريق \(A\) بالمبلغ \(x_a\) ، وفاز الفريق \(B\) بالمبلغ \(x_b\) . لننظر في الحالة
$$
x_a > x_b > 0.
$$
تراهن الفرق الآن على أعداد صحيحة.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
إذا كانت الإجابة صحيحة، يُضاف المبلغ المُراهن به؛ وإذا كانت الإجابة خاطئة، يُطرح. فيما يلي النتائج النهائية للنتائج الأربع المُحتملة.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
في البرنامج، يؤدي التعادل إلى سؤال تقديري. لذا، يبقى ظاهرًا في المصفوفة كحالة منفصلة. لحساب نسب احتمالية الفوز، نحسب الانتصارات المباشرة في الحالات الفرعية الأربع المتساوية الاحتمال. نمط مثل \(|A|B|A|A|\) يُنتج ثلاثة انتصارات مباشرة للفريق \(A\) وانتصارًا واحدًا للفريق \(B\) . لا يُحتسب التعادل انتصارًا مباشرًا لأي من الفريقين. هذا الحساب الدقيق ضروري؛ فليس كافيًا اعتبار الخلية بأكملها "زرقاء" أو "حمراء".
يفترض هذا النموذج افتراضًا أساسيًا: وهو أننا نتعامل مع احتمالات الإجابات الأربع على أنها متساوية. لذا، لا يتعلق الأمر بمعرفة الفريق \(A\) أو الفريق \(B\) للفئة بشكل أفضل، بل يتعلق فقط بالاستراتيجية المتبعة قبل الإجابة.
هيا بنا
$$
d=x_a-x_b.
$$
إذن \(d>0\) هي ميزة الفريق \(A\) . السؤال الآن هو: ما هو الرهان الأمثل؟
يمكن حساب المصفوفة الكاملة للرهانات الممكنة بشكل ديناميكي.:
وجهة نظر الفريق أ
نقوم أولاً بفحص متى يفوز الفريق \(A\) برهانات ثابتة \(y_a\) و \(y_b\) .
القضية
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
دائماً ما تذهب إلى الفريق \(A\) ، لأن
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
ينطبق هذا تلقائيًا لأن \(x_a>x_b\) و \(y_a,y_b>0\) .
أما بالنسبة للحالات الثلاث الأخرى، فقد تلقينا:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
مع \(x_a=x_b+d\) يصبح هذا:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
لذا:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
أصبحت طريقة العد الآن بالغة الأهمية. سابقًا، كان من الممكن تقييم كل خلية بناءً على ما إذا كانت تحتوي على حالات \(A\) أكثر من حالات \(B\) . إلا أن هذا تبسيط مفرط لحساب احتمالية الفوز. فالحالات الفرعية الأربع متساوية الاحتمالية. لذا، \(|A|B|A|A|\) لا تُحتسب كفوز واحد لـ \(A\) ، بل كثلاث حالات فرعية فائزة لـ \(A\) .
بالنسبة لحصص ثابتة \(y_a\) للفريق \(A\) فإننا نجمع بالتالي مدخلات \(A\) الفردية في الحالات الأربع على جميع الحصص الممكنة \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
الحالة " \(A\) صحيح، \(B\) غير صحيح" تذهب دائمًا إلى الفريق \(A\) . وهذا ينتج عنه بالفعل حالات فرعية فائزة \(x_b\) .
أما النتائج المتعلقة بالحالات الثلاث الأخرى فهي كالتالي.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
هذا يعني أن عدد القضايا الفرعية التي فاز بها الفريق \(A\) هو
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
الاحتمال المقابل للفوز هو
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
بما أن التعادل غير مدرج هنا، فإن \(P_A\) هو بالضبط احتمال الفوز بالسؤال الرئيسي مباشرة (بدون سؤال تقديري).
يؤدي هذا العد الأكثر دقة إلى تغيير طفيف في الوضع الأمثل مقارنةً بالأغلبية البسيطة للخلايا. بالنسبة للفريق \(A\) ينتج عن ذلك مجالات التطبيق الأمثل التالية.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
تُعزز جميع الرهانات في هذه المنطقة احتمالية فوز الفريق \(A\) ). إذا كنت ترغب في المراهنة بأكبر مبلغ ممكن بين الرهانات المتساوية في القيمة، فعليك دائمًا استخدام الحافة اليمنى للمنطقة.
مثال:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
ثم
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
هناك
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
ينطبق النطاق الأمثل.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
وبالتالي فإن الاستخدام الأمثل هو
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
كان النهج القديم الذي يعتمد على دراسة الخلايا الكاملة سيشير إلى النطاق \(9\leq y_a\leq 14\) . ويُظهر عدد الحالات الجزئية بدقة أكبر أن القيمتين الحدّيتين \(8\) و \(15\) هما الأمثل أيضًا.
وجهة نظر الفريق ب
والآن ننظر إلى الموقف نفسه من منظور الفريق المتأخر \(B\) . هنا أيضًا، لم نعد نحسب الخلايا بأكملها فقط، بل نحسب إدخالات \(B\) الفردية في الحالات الفرعية الأربع.
القضية
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
يخسر الفريق " \(B\) دائمًا. في الحالات الثلاث المتبقية، يحصل الفريق \(B\) على العدد التالي من الحالات الفرعية الفائزة مقابل رهان ثابت \(y_b\) عند جمع جميع القيم الممكنة \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
هكذا هو
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
واحتمالية الفوز المرتبطة بها
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
بالنسبة لـ \(y_b\leq d\) يتبسط هذا إلى
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
بالنسبة لـ \(y_b>d\) نحصل فقط على
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
هذه هي المنطقة المثلى للفريق \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
هذا تصحيح مهم مقارنة بنهج أغلبية الخلايا الأبسط: الرهان الأمثل للفريق \(B\) ليس بالضرورة \(1\) بشكل فريد. على سبيل المثال، إذا كان الفريق \(A\) متقدمًا بـ \(d=8\) ويمكن للفريق \(B\) المراهنة على الأكثر \(22\) ، فإن جميع الرهانات للفريق \(B\) تكون مثالية فيما يتعلق باحتمالية الفوز.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
يبقى المنطق كما هو: لا ينبغي للفريق المتأخر أن يراهن بمبالغ كبيرة بلا داعٍ. فبينما تُحسّن الرهانات المرتفعة للغاية بعض السيناريوهات، فإنها تُضعف أخرى. وبمجرد أن يتجاوز \(y_b\) العجز \(d\) ، يخسر الفريق \(B\) سيناريو كاملاً. لذلك، يراهن الفريق المتقدم بطريقة تضمن له الفوز بأكبر عدد ممكن من السيناريوهات الفردية، وذلك من خلال جميع الرهانات الممكنة للخصم.
لا يراهن المُطارد بالضرورة على يورو واحد بالضبط، بل على الأكثر بما يعادل العجز. لذا، يُعدّ السؤال الرئيسي مثالًا جيدًا على مدى احتواء قاعدة اختبار تبدو بسيطة على نظرية الألعاب: فالمهم ليس فقط أي خلية تصبح زرقاء أو حمراء، بل عدد الحالات الفرعية الأربع التي يتم الفوز بها فعليًا داخل تلك الخلية.