A volte, una singola domanda nel programma di prima serata (in questo caso posta dallo stimato presentatore Kai Pflaume) è sufficiente a trasformare un innocuo finale di un quiz in un piccolo problema di ottimizzazione. Ed è esattamente ciò che accade in "Chi sa cosa?". Domanda fondamentale: La categoria è nota, la risposta non ancora – ma la posta in gioco determina già quali risultati sono comunque positivi.
Consideriamo due squadre \(A\) e \(B\) . Prima della domanda finale, la squadra \(A\) aveva vinto la somma \(x_a\) e la squadra \(B\) aveva vinto la somma \(x_b\) . Consideriamo il caso
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Le squadre ora scommettono su numeri interi.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Se la risposta è corretta, l'importo puntato viene aggiunto; se la risposta è errata, viene sottratto. Per i quattro possibili risultati, si ottengono i seguenti punteggi finali.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Nello show, un pareggio porta a una domanda di stima. Pertanto, rimane visibile nella matrice come caso separato "=". Per i valori percentuali della probabilità di vittoria, contiamo le vittorie dirette nei quattro sottocasi ugualmente probabili. Uno schema come \(|A|B|A|A|\) produce tre vittorie dirette per la squadra \(A\) e una per la squadra \(B\) . Un pareggio non conta come una vittoria diretta per nessuna delle due squadre. Questo conteggio più preciso è cruciale; non è sufficiente contare semplicemente un'intera cella come "blu" o "rossa".
Questo modello contiene un'ipotesi: consideriamo le quattro combinazioni di risposta come ugualmente probabili. Pertanto, non si tratta di stabilire se la Squadra \(A\) o la Squadra \(B\) conoscano meglio la categoria, ma solo della strategia impiegata prima di fornire la risposta.
Andiamo
$$
d=x_a-x_b.
$$
Allora \(d>0\) rappresenta il vantaggio della squadra \(A\) . La domanda ora è: qual è la posta in gioco ottimale?
La matrice completa delle scommesse possibili può essere calcolata dinamicamente.:
La prospettiva della squadra A
Esaminiamo innanzitutto quando la squadra \(A\) vince con puntate fisse \(y_a\) e \(y_b\) .
Il caso
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Va sempre alla squadra \(A\) , perché
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Ciò si applica automaticamente perché \(x_a>x_b\) e \(y_a,y_b>0\) .
Per gli altri tre casi, riceviamo:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Con \(x_a=x_b+d\) questo diventa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
COSÌ:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Il metodo di conteggio è ora cruciale. In precedenza, si poteva essere tentati di valutare ogni cella basandosi unicamente sul fatto che contenesse più casi \(A\) che \(B\) . Tuttavia, questo è troppo semplicistico per calcolare la probabilità di vincita. I quattro sottocasi sono di per sé eventi ugualmente probabili. Pertanto, \(|A|B|A|A|\) non conta come una singola vittoria per \(A\) , ma piuttosto come tre sottocasi vinti per \(A\) .
Per una puntata fissa \(y_a\) della squadra \(A\) sommiamo quindi le singole partecipazioni \(A\) nei quattro casi su tutte le possibili puntate \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Il caso " \(A\) corretto, \(B\) errato" va sempre alla squadra \(A\) . Questo produce già \(x_b\) sottocasi vinti.
I seguenti numeri risultano per gli altri tre casi.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Ciò significa che il numero di sottocasi vinti dal Team \(A\) è
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
La probabilità corrispondente di vincere è
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Poiché in questo caso non è previsto un pareggio, \(P_A\) rappresenta esattamente la probabilità di vincere direttamente la domanda principale (senza una domanda di stima).
Questo conteggio più preciso sposta leggermente l'ottimo rispetto alla semplice maggioranza delle celle. Per il Team \(A\) si ottengono le seguenti aree di applicazione ottimali.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Tutte le scommesse in quest'area massimizzano la probabilità di vincita della Squadra \(A\) Se si desidera scommettere l'importo massimo possibile tra le scommesse di pari valore, è sempre consigliabile utilizzare il bordo destro dell'area.
Un esempio:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Poi
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Là
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Si applica l'intervallo ottimale.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Il massimo utilizzo ottimale è quindi
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Il vecchio approccio, che considerava le celle intere, avrebbe suggerito l'intervallo \(9\leq y_a\leq 14\) . Il conteggio parziale dei casi mostra più precisamente che anche i due valori limite \(8\) e \(15\) sono ottimali.
La prospettiva della squadra B
Consideriamo ora la stessa situazione dal punto di vista della squadra inseguitrice \(B\) . Anche in questo caso, non contiamo più solo le celle intere, ma le singole voci \(B\) nei quattro sottocasi.
Il caso
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
La squadra \(B\) perde sempre. Nei tre casi rimanenti, la squadra \(B\) riceve il seguente numero di sottocasi vinti per una posta fissa \(y_b\) , sommando su tutti i possibili \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Così è
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
e la probabilità di vincita associata
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Per \(y_b\leq d\) questo si semplifica in
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Per \(y_b>d\) si ottiene solo
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Questa è l'area ottimale per la squadra \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Questa è una correzione importante rispetto all'approccio più approssimativo della maggioranza delle celle: la scommessa ottimale per la Squadra \(B\) non è necessariamente univocamente \(1\) Ad esempio, se la Squadra \(A\) è in vantaggio con \(d=8\) e la Squadra \(B\) può scommettere al massimo \(22\) , allora tutte le scommesse per \(B\) sono ottimali rispetto alla probabilità di vincita.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
L'intuizione rimane simile: la squadra in svantaggio non dovrebbe scommettere cifre eccessivamente alte. Sebbene scommesse troppo alte migliorino alcuni scenari, ne peggiorano altri. Non appena \(y_b\) supera il deficit \(d\) , la squadra \(B\) perde uno scenario complessivamente. Pertanto, la squadra in vantaggio scommette in modo tale da vincere il maggior numero possibile di scenari individuali, considerando tutte le possibili scommesse dell'avversario.
Chi insegue non scommette necessariamente esattamente un euro, ma al massimo una somma pari al deficit. La domanda chiave è quindi un buon esempio di quanta teoria dei giochi sia racchiusa in una regola del quiz apparentemente semplice: ciò che conta non è solo quale cella finisce blu o rossa, ma quanti dei quattro sottocasi all'interno di quella cella vengono effettivamente vinti.