Terkadang, satu pertanyaan saja di program sore hari (dalam hal ini dari presenter terhormat Kai Pflaume) sudah cukup untuk mengubah final acara kuis yang tampaknya tidak berbahaya menjadi masalah optimasi kecil. Itulah yang terjadi di "Who Knows What?" Pertanyaan utama: Kategori sudah diketahui, jawabannya belum – tetapi taruhannya sudah menentukan hasil mana yang masih baik.
Mari kita ambil dua tim \(A\) dan \(B\) . Sebelum pertanyaan terakhir, tim \(A\) telah memenangkan sejumlah \(x_a\) , dan tim \(B\) telah memenangkan sejumlah \(x_b\) . Kita pertimbangkan kasus ini.
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Tim-tim tersebut sekarang bertaruh menggunakan bilangan bulat.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Jika jawabannya benar, jumlah taruhan akan ditambahkan; jika jawabannya salah, jumlah taruhan akan dikurangi. Untuk keempat kemungkinan hasil tersebut, skor akhir yang dihasilkan adalah sebagai berikut.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Dalam acara tersebut, hasil seri mengarah pada pertanyaan estimasi. Oleh karena itu, hasil seri tetap terlihat dalam matriks sebagai kasus terpisah "=". Untuk nilai persentase probabilitas kemenangan, kita menghitung kemenangan langsung dalam empat sub-kasus yang memiliki kemungkinan yang sama. Pola seperti \(|A|B|A|A|\) menghasilkan tiga kemenangan langsung untuk Tim \(A\) dan satu untuk Tim \(B\) . Hasil seri tidak dihitung sebagai kemenangan langsung untuk tim mana pun. Penghitungan yang lebih tepat ini sangat penting; tidak cukup hanya menghitung seluruh sel sebagai "biru" atau "merah".
Model ini mengandung sebuah asumsi: Kita memperlakukan keempat kombinasi jawaban tersebut sebagai memiliki kemungkinan yang sama. Oleh karena itu, ini bukan tentang apakah Tim \(A\) atau Tim \(B\) lebih memahami kategori tersebut, tetapi hanya tentang strategi yang digunakan sebelum menjawab.
Mari kita
$$
d=x_a-x_b.
$$
Maka \(d>0\) adalah keuntungan tim \(A\) . Pertanyaannya sekarang adalah: Berapa taruhan optimalnya?
Matriks lengkap dari kemungkinan taruhan dapat dihitung secara dinamis.:
Perspektif Tim A
Pertama-tama kita periksa kapan Tim \(A\) menang dengan taruhan tetap \(y_a\) dan \(y_b\) .
Kasus tersebut
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Itu selalu diberikan kepada Tim \(A\) , karena
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Hal ini berlaku secara otomatis karena \(x_a>x_b\) dan \(y_a,y_b>0\) .
Untuk tiga kasus lainnya, kami menerima:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Dengan \(x_a=x_b+d\) maka menjadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Jadi:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Metode penghitungan sekarang sangat penting. Sebelumnya, orang mungkin tergoda untuk mengevaluasi setiap sel hanya berdasarkan apakah sel tersebut berisi lebih banyak kasus \(A\) daripada \(B\) . Namun, ini terlalu sederhana untuk menghitung probabilitas kemenangan. Keempat sub-kasus itu sendiri merupakan peristiwa yang memiliki probabilitas yang sama. Oleh karena itu, \(|A|B|A|A|\) tidak dihitung sebagai satu kemenangan untuk \(A\) , melainkan sebagai tiga sub-kasus yang dimenangkan untuk \(A\) .
Untuk taruhan tetap \(y_a\) dari tim \(A\) oleh karena itu kita menjumlahkan entri individu \(A\) dalam empat kasus di semua kemungkinan taruhan \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Kasus " \(A\) benar, \(B\) salah" selalu dimenangkan oleh tim \(A\) . Ini sudah menghasilkan \(x_b\) subkasus yang dimenangkan.
Berikut adalah angka-angka yang dihasilkan untuk tiga kasus lainnya.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Ini berarti jumlah subkasus yang dimenangkan oleh Tim \(A\) adalah
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Probabilitas kemenangan yang sesuai adalah
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Karena hasil seri tidak termasuk di sini, maka \(P_A\) adalah probabilitas memenangkan pertanyaan utama secara langsung (tanpa pertanyaan estimasi).
Penghitungan yang lebih tepat ini sedikit menggeser titik optimum dibandingkan dengan mayoritas sel sederhana. Untuk Tim \(A\) area aplikasi optimal berikut dihasilkan.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Semua taruhan di area ini memaksimalkan peluang Tim \(A\) untuk menang. Jika Anda ingin bertaruh dengan jumlah terbesar di antara taruhan yang sama baiknya, Anda harus selalu menggunakan tepi kanan area tersebut.
Sebuah contoh:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Kemudian
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Di sana
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Rentang optimal berlaku.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Oleh karena itu, penggunaan optimal terbesar adalah...
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Pendekatan lama yang mempertimbangkan seluruh sel akan menyarankan rentang \(9\leq y_a\leq 14\) . Penghitungan kasus parsial menunjukkan dengan lebih tepat bahwa kedua nilai batas \(8\) dan \(15\) juga optimal.
Perspektif Tim B
Sekarang kita mempertimbangkan situasi yang sama dari perspektif tim yang tertinggal \(B\) . Di sini juga, kita tidak lagi hanya menghitung seluruh sel, tetapi entri \(B\) individual dalam empat subkasus.
Kasus tersebut
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Tim \(B\) selalu kalah. Dalam tiga kasus yang tersisa, Tim \(B\) menerima sejumlah sub-kasus yang dimenangkan sebagai berikut untuk taruhan tetap \(y_b\) ketika dijumlahkan atas semua kemungkinan \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Begitu juga
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
dan probabilitas kemenangan yang terkait
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Untuk \(y_b\leq d\) ini disederhanakan menjadi
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Untuk \(y_b>d\) hanya diperoleh
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Ini adalah area optimal untuk Tim \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Ini adalah koreksi penting dibandingkan dengan pendekatan mayoritas sel yang lebih kasar: Taruhan optimal untuk Tim \(B\) tidak selalu unik yaitu \(1\) Misalnya, jika Tim \(A\) unggul dengan \(d=8\) dan Tim \(B\) dapat bertaruh paling banyak \(22\) , maka semua taruhan untuk \(B\) optimal sehubungan dengan probabilitas kemenangan.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuisinya tetap sama: Tim yang tertinggal tidak boleh bertaruh terlalu tinggi secara tidak perlu. Meskipun taruhan yang terlalu tinggi meningkatkan skenario individual, hal itu memperburuk skenario lainnya. Begitu \(y_b\) melebihi defisit \(d\) , tim \(B\) kalah dalam satu skenario secara keseluruhan. Oleh karena itu, tim yang unggul bertaruh sedemikian rupa sehingga, di antara semua kemungkinan taruhan lawan, mereka memenangkan sebanyak mungkin skenario individual.
Pengejar tidak selalu bertaruh tepat satu euro, tetapi paling banyak sebesar selisihnya. Pertanyaan utama ini merupakan contoh yang baik tentang seberapa banyak teori permainan terkandung dalam aturan kuis yang tampaknya sederhana: yang penting bukan hanya sel mana yang berwarna biru atau merah, tetapi berapa banyak dari empat sub-kasus di dalam sel tersebut yang benar-benar dimenangkan.