ពេលខ្លះសំណួរតែមួយនៅក្នុងកម្មវិធីពេលល្ងាចដំបូង (ក្នុងករណីនេះពីពិធីករដ៏មានកិត្តិយស Kai Pflaume) គឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីប្រែក្លាយវគ្គផ្តាច់ព្រ័ត្រនៃកម្មវិធីសំណួរដែលគ្មានគ្រោះថ្នាក់ទៅជាបញ្ហាតូចតាចក្នុងការបង្កើនប្រសិទ្ធភាព។ នោះហើយជាអ្វីដែលកើតឡើងនៅលើ "តើអ្នកណាដឹងអ្វី?" សំណួរមេ: ប្រភេទនេះត្រូវបានគេដឹងហើយ ចម្លើយមិនទាន់ដឹងនៅឡើយទេ - ប៉ុន្តែហានិភ័យបានកំណត់រួចហើយថាលទ្ធផលណាដែលនៅតែល្អ។
ចូរយើងយកក្រុមពីរ \(A\) និង \(B\) ។ មុនសំណួរចុងក្រោយ ក្រុម \(A\) បានឈ្នះចំនួន \(x_a\) ហើយក្រុម \(B\) បានឈ្នះចំនួន \(x_b\) ។ យើងពិចារណាលើករណីនេះ។
$$
x_a > x_b > 0.
$$
ឥឡូវនេះក្រុមនានាកំពុងភ្នាល់លេខគត់។
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
ប្រសិនបើចម្លើយត្រឹមត្រូវ ចំនួនទឹកប្រាក់ភ្នាល់នឹងត្រូវបានបូក។ ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ វាត្រូវបានដកចេញ។ សម្រាប់លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងបួន ពិន្ទុចុងក្រោយដូចខាងក្រោមនឹងត្រូវបានបង្ហាញ។:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
នៅក្នុងកម្មវិធី ការស្មើនាំឱ្យមានសំណួរប៉ាន់ស្មាន។ ដូច្នេះ វានៅតែអាចមើលឃើញនៅក្នុងម៉ាទ្រីសជាករណីដាច់ដោយឡែកមួយ "="។ ចំពោះតម្លៃភាគរយនៃប្រូបាប៊ីលីតេឈ្នះ យើងរាប់ការឈ្នះដោយផ្ទាល់ក្នុងករណីរងទាំងបួនដែលទំនងជាស្មើគ្នា។ គំរូដូចជា \(|A|B|A|A|\) ផ្តល់នូវការឈ្នះដោយផ្ទាល់ចំនួនបីសម្រាប់ក្រុម \(A\) និងមួយសម្រាប់ក្រុម \(B\) ។ ការស្មើមិនរាប់បញ្ចូលជាការឈ្នះដោយផ្ទាល់សម្រាប់ក្រុមណាមួយឡើយ។ ការរាប់ដែលច្បាស់លាស់ជាងនេះគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់។ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការរាប់ក្រឡាទាំងមូលជា "ខៀវ" ឬ "ក្រហម"។
គំរូនេះមានសម្មតិកម្មមួយ៖ យើងចាត់ទុកបន្សំចម្លើយទាំងបួនថាទំនងជាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ វាមិនមែននិយាយអំពីថាតើក្រុម \(A\) ឬក្រុម \(B\) ស្គាល់ប្រភេទនេះច្បាស់ជាងនោះទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែអំពីយុទ្ធសាស្ត្រដែលប្រើមុនពេលឆ្លើយប៉ុណ្ណោះ។
តោះ
$$
d=x_a-x_b.
$$
បន្ទាប់មក \(d>0\) គឺជាគុណសម្បត្តិរបស់ក្រុម \(A\) ។ សំណួរឥឡូវនេះគឺ៖ តើភាគហ៊ុនល្អបំផុតគឺជាអ្វី?
ម៉ាទ្រីសពេញលេញនៃការភ្នាល់ដែលអាចធ្វើទៅបានអាចត្រូវបានគណនាដោយថាមវន្ត។:
ទស្សនៈរបស់ក្រុម A
ដំបូងយើងពិនិត្យមើលពេលដែលក្រុម \(A\) ឈ្នះជាមួយនឹងប្រាក់ភ្នាល់ថេរ \(y_a\) និង \(y_b\) ។
ករណីនេះ
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
វាតែងតែទៅក្រុម \(A\) ពីព្រោះ
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
នេះអនុវត្តដោយស្វ័យប្រវត្តិ ពីព្រោះ \(x_a>x_b\) និង \(y_a,y_b>0\) ។
ចំពោះករណីបីផ្សេងទៀត យើងទទួលបាន:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
ជាមួយ \(x_a=x_b+d\) នេះក្លាយជា:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
ដូច្នេះ:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
វិធីសាស្ត្ររាប់ឥឡូវនេះមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ពីមុន មនុស្សម្នាក់អាចត្រូវបានល្បួងឱ្យវាយតម្លៃក្រឡានីមួយៗដោយផ្អែកលើថាតើវាមានករណី \(A\) ច្រើនជាង \(B\) ដែរឬទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះគឺសាមញ្ញពេកសម្រាប់ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះ។ ករណីរងទាំងបួនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ \(|A|B|A|A|\) មិនរាប់បញ្ចូលជាការឈ្នះតែមួយសម្រាប់ \(A\) ទេ ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញជាករណីរងដែលឈ្នះបីសម្រាប់ \(A\) ។
ចំពោះភាគហ៊ុនថេរ \(y_a\) នៃក្រុម \(A\) ដូច្នេះយើងបូកបញ្ចូលធាតុ \(A\) នីមួយៗក្នុងករណីទាំងបួនលើភាគហ៊ុនដែលអាចមានទាំងអស់ \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) ។
ករណី " \(A\) correct, \(B\) incorrect" តែងតែទៅក្រុម \(A\) ។ នេះផ្តល់លទ្ធផលជាករណីរង \(x_b\) ដែលឈ្នះរួចហើយ។
តួលេខខាងក្រោមនេះបង្កើតបានជាលទ្ធផលសម្រាប់ករណីបីផ្សេងទៀត។:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
នេះមានន័យថាចំនួននៃករណីរងដែលឈ្នះដោយក្រុម \(A\) គឺ
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នានៃការឈ្នះគឺ
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
ដោយសារការស្មើមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលនៅទីនេះ \(P_A\) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះសំណួរមេដោយផ្ទាល់ (ដោយមិនចាំបាច់មានសំណួរប៉ាន់ស្មាន)។
ការរាប់កាន់តែច្បាស់លាស់នេះផ្លាស់ប្តូរកម្រិតល្អបំផុតបន្តិចបន្តួចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងក្រឡាភាគច្រើនសាមញ្ញ។ សម្រាប់ក្រុម \(A\) តំបន់អនុវត្តល្អបំផុតដូចខាងក្រោមនឹងកើតឡើង។:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
ការភ្នាល់ទាំងអស់នៅក្នុងតំបន់នេះបង្កើនប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះរបស់ក្រុម \(A\) ឲ្យខ្ពស់បំផុត។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ភ្នាល់ចំនួនច្រើនបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបានក្នុងចំណោមការភ្នាល់ល្អស្មើគ្នា អ្នកគួរតែប្រើគែមខាងស្តាំនៃតំបន់នោះជានិច្ច។
ឧទាហរណ៍មួយ:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
បន្ទាប់មក
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
នៅទីនោះ
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
ជួរល្អបំផុតត្រូវបានអនុវត្ត។
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
ដូច្នេះការប្រើប្រាស់ដ៏ល្អប្រសើរបំផុតគឺ
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
វិធីសាស្រ្តចាស់នៃការពិចារណាលើក្រឡាទាំងមូលនឹងបានស្នើជួរ \(9\leq y_a\leq 14\) ។ ចំនួនករណីដោយផ្នែកបង្ហាញឱ្យកាន់តែច្បាស់ថាតម្លៃព្រំដែនពីរ \(8\) និង \(15\) ក៏ល្អបំផុតផងដែរ។
ទស្សនៈរបស់ក្រុម B
ឥឡូវនេះ យើងពិចារណាស្ថានភាពដូចគ្នាពីទស្សនៈរបស់ក្រុមដែលនៅពីក្រោយ \(B\) ។ នៅទីនេះដែរ យើងលែងរាប់តែក្រឡាទាំងមូលទៀតហើយ ប៉ុន្តែរាប់ធាតុ \(B\) នីមួយៗនៅក្នុងករណីរងទាំងបួន។
ករណីនេះ
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
ក្រុម \(B\) តែងតែចាញ់។ ក្នុងករណីបីដែលនៅសល់ ក្រុម \(B\) ទទួលបានចំនួនករណីរងដែលបានឈ្នះដូចខាងក្រោមសម្រាប់ភាគហ៊ុនថេរ \(y_b\) នៅពេលដែលបូកសរុប \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
អញ្ចឹង
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះដែលពាក់ព័ន្ធ
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
សម្រាប់ \(y_b\leq d\) នេះធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅ
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
សម្រាប់ \(y_b>d\) មួយទទួលបានតែប៉ុណ្ណោះ
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
នេះជាតំបន់ល្អបំផុតសម្រាប់ក្រុម \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
នេះគឺជាការកែតម្រូវដ៏សំខាន់មួយបើប្រៀបធៀបទៅនឹងវិធីសាស្រ្តភាគច្រើននៃកោសិកាឆៅ៖ ការភ្នាល់ដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ក្រុម \(B\) មិនចាំបាច់ជា \(1\) តែមួយគត់នោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើក្រុម \(A\) នាំមុខជាមួយ \(d=8\) ហើយក្រុម \(B\) អាចភ្នាល់បានច្រើនបំផុត \(22\) នោះការភ្នាល់ទាំងអស់សម្រាប់ \(B\) គឺល្អបំផុតទាក់ទងនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះ។:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
វិចារណញាណនៅតែស្រដៀងគ្នា៖ ក្រុមដែលនៅពីក្រោយមិនគួរភ្នាល់ខ្ពស់ពេកទេ។ ខណៈពេលដែលការភ្នាល់ខ្ពស់ពេកធ្វើឱ្យសេណារីយ៉ូខ្លះប្រសើរឡើង ពួកវាធ្វើឱ្យសេណារីយ៉ូផ្សេងទៀតកាន់តែអាក្រក់ទៅៗ។ ដរាបណា \(y_b\) លើសពីឱនភាព \(d\) ក្រុម \(B\) ចាញ់សេណារីយ៉ូទាំងមូល។ ដូច្នេះ ក្រុមដែលនាំមុខគេភ្នាល់តាមរបៀបដែល នៅក្នុងការភ្នាល់ដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងអស់ដោយគូប្រកួត ពួកគេឈ្នះសេណារីយ៉ូនីមួយៗឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។
អ្នកដេញតាមមិនចាំបាច់ភ្នាល់មួយអឺរ៉ូពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែច្រើនបំផុតស្មើនឹងឱនភាព។ ដូច្នេះសំណួរមេគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏ល្អមួយអំពីចំនួនទ្រឹស្តីហ្គេមដែលមាននៅក្នុងច្បាប់សំណួរសាមញ្ញមួយ៖ អ្វីដែលសំខាន់មិនត្រឹមតែក្រឡាណាដែលបញ្ចប់ដោយពណ៌ខៀវ ឬក្រហមប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែតើមានករណីរងចំនួនប៉ុន្មានក្នុងចំណោមករណីរងទាំងបួននៅក្នុងក្រឡានោះត្រូវបានឈ្នះ។