Czasami jedno pytanie w programie wczesnym wieczorem (w tym przypadku od szanowanego prezentera Kaia Pflaume) wystarczy, by niegroźny finał teleturnieju zamienił się w drobny problem optymalizacyjny. Dokładnie tak dzieje się w programie „Kto wie, co?”. Pytanie główne: Kategoria jest znana, odpowiedź jeszcze nie – ale stawka już teraz decyduje, które wyniki są nadal dobre.
Weźmy dwa zespoły \(A\) i \(B\) . Przed ostatnim pytaniem zespół \(A\) wygrał kwotę \(x_a\) , a zespół \(B\) wygrał kwotę \(x_b\) . Rozważmy następujący przypadek
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Zespoły obstawiają teraz liczby całkowite.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Jeśli odpowiedź jest prawidłowa, postawiona kwota jest dodawana; jeśli odpowiedź jest nieprawidłowa, jest ona odejmowana. Dla czterech możliwych wyników, otrzymujemy następujące wyniki końcowe.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
W programie remis prowadzi do pytania o oszacowanie. Dlatego pozostaje on widoczny w macierzy jako osobny przypadek "=". Dla wartości procentowych prawdopodobieństwa wygranej, zliczamy bezpośrednie wygrane w czterech równie prawdopodobnych podprzypadkach. Wzór taki jak \(|A|B|A|A|\) daje trzy bezpośrednie wygrane dla drużyny \(A\) i jedno dla drużyny \(B\) . Remis nie jest liczony jako bezpośrednie zwycięstwo żadnej z drużyn. To dokładniejsze liczenie jest kluczowe; nie wystarczy po prostu zaliczyć całą komórkę jako „niebieską” lub „czerwoną”.
Ten model opiera się na założeniu: traktujemy cztery kombinacje odpowiedzi jako równie prawdopodobne. Dlatego nie chodzi o to, czy zespół \(A\) , czy zespół \(B\) zna kategorię lepiej, ale jedynie o strategię zastosowaną przed udzieleniem odpowiedzi.
Chodźmy
$$
d=x_a-x_b.
$$
W takim razie \(d>0\) jest przewagą drużyny \(A\) . Pytanie brzmi: jaka jest optymalna stawka?
Pełną macierz możliwych zakładów można obliczyć dynamicznie.:
Perspektywa zespołu A
Najpierw sprawdzamy, kiedy drużyna \(A\) wygrywa przy stałych stawkach \(y_a\) i \(y_b\) .
Sprawa
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Zawsze wygrywa drużyna \(A\) , ponieważ
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Dotyczy to automatycznie, ponieważ \(x_a>x_b\) i \(y_a,y_b>0\) .
W pozostałych trzech przypadkach otrzymujemy:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Przy \(x_a=x_b+d\) staje się to:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Więc:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Metoda liczenia ma teraz kluczowe znaczenie. Wcześniej można było pokusić się o ocenę każdej komórki wyłącznie na podstawie tego, czy zawiera więcej przypadków \(A\) niż \(B\) . Jest to jednak zbytnie uproszczenie, aby obliczyć prawdopodobieństwo wygranej. Cztery podprzypadki same w sobie są zdarzeniami równie prawdopodobnymi. Dlatego \(|A|B|A|A|\) nie liczy się jako pojedyncza wygrana dla \(A\) , ale raczej jako trzy wygrane podprzypadki dla \(A\) .
W przypadku ustalonej stawki \(y_a\) zespołu \(A\) sumujemy zatem indywidualne wpisy \(A\) w czterech przypadkach dla wszystkich możliwych stawek \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Przypadek „ \(A\) poprawny, \(B\) niepoprawny” zawsze trafia do zespołu \(A\) . To już daje \(x_b\) wygranych podprzypadków.
Poniższe liczby dotyczą trzech pozostałych przypadków.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Oznacza to, że liczba wygranych przez drużynę \(A\) podspraw wynosi
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Odpowiednie prawdopodobieństwo wygranej wynosi
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Ponieważ remis nie jest tu uwzględniony, \(P_A\) jest dokładnie prawdopodobieństwem wygrania pytania głównego bezpośrednio (bez pytania szacującego).
To dokładniejsze liczenie nieznacznie przesuwa optimum w porównaniu z prostą większością komórek. Dla Zespołu \(A\) wynikają następujące optymalne obszary zastosowań.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Wszystkie zakłady w tym obszarze maksymalizują prawdopodobieństwo wygranej drużyny \(A\) Jeśli chcesz postawić jak największą kwotę spośród równie dobrych zakładów, zawsze powinieneś obstawiać prawą krawędź obszaru.
Przykład:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Następnie
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Tam
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Obowiązuje zakres optymalny.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Największe optymalne wykorzystanie jest zatem
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Stare podejście, polegające na rozpatrywaniu całych komórek, sugerowałoby zakres \(9\leq y_a\leq 14\) . Częściowa liczba przypadków pokazuje dokładniej, że dwie wartości graniczne \(8\) i \(15\) są również optymalne.
Perspektywa zespołu B
Teraz rozważymy tę samą sytuację z perspektywy zespołu końcowego \(B\) . Tutaj również nie liczymy już tylko całych komórek, ale pojedyncze wpisy \(B\) w czterech podprzypadkach.
Sprawa
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Zespół \(B\) zawsze przegrywa. W trzech pozostałych przypadkach zespół \(B\) otrzymuje następującą liczbę wygranych podprzypadków dla stałej stawki \(y_b\) po zsumowaniu wszystkich możliwych \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Więc jest
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
i związane z tym prawdopodobieństwo wygranej
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Dla \(y_b\leq d\) upraszcza się to do
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Dla \(y_b>d\) otrzymuje się tylko
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
To jest optymalny obszar dla zespołu \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Jest to ważna poprawka w porównaniu do bardziej prymitywnego podejścia opartego na większości komórek: optymalny zakład dla drużyny \(B\) nie musi wynosić jednoznacznie \(1\) Na przykład, jeśli drużyna \(A\) prowadzi z \(d=8\) , a drużyna \(B\) może postawić maksymalnie \(22\) , to wszystkie zakłady dla \(B\) są optymalne pod względem prawdopodobieństwa wygranej.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Intuicja pozostaje ta sama: drużyna przegrywająca nie powinna obstawiać niepotrzebnie wysoko. O ile nadmiernie wysokie stawki poprawiają poszczególne scenariusze, o tyle pogarszają inne. Gdy tylko \(y_b\) przekroczy deficyt \(d\) , drużyna \(B\) przegrywa scenariusz w całości. Dlatego drużyna prowadząca obstawia w taki sposób, aby, biorąc pod uwagę wszystkie możliwe zakłady przeciwnika, wygrać jak najwięcej scenariuszy.
Gracz, który przegrywa, niekoniecznie stawia dokładnie jedno euro, ale co najwyżej tyle, ile wynosi deficyt. Główne pytanie jest zatem dobrym przykładem tego, ile teorii gier zawiera pozornie prosta zasada quizu: liczy się nie tylko to, które pole kończy się na niebiesko lub czerwono, ale ile z czterech podprzypadków w tym polu jest faktycznie wygranych.