Mararka qaar hal su'aal oo ku jirta barnaamijka fiidnimada hore (xaaladdan oo ka timid soo-bandhigaha sharafta leh Kai Pflaume) ayaa ku filan in barnaamijka kama dambaysta ah ee su'aalaha aan dhibka lahayn loo beddelo dhibaato yar oo hagaajin ah. Taasi waa waxa dhabta ah ee ka dhaca "Yaa garanaya waxa?" Su'aal Sare: Qaybta waa la yaqaan, jawaabtu weli ma cadda - laakiin caqabaduhu waxay horey u go'aamiyaan natiijooyinka weli wanaagsan.
Aan soo qaadanno laba kooxood \(A\) iyo \(B\) . Kahor su'aasha kama dambaysta ah, kooxda \(A\) ayaa ku guuleysatay lacagta \(x_a\) , kooxda \(B\) ayaana ku guuleysatay lacagta \(x_b\) . Waxaan tixgelineynaa kiiska
$$
x_a > x_b > 0.
$$
Kooxuhu hadda waxay sharad ku galayaan tirooyin dhan.
$$
1 \leq y_a \leq x_a,\qquad 1 \leq y_b \leq x_b.
$$
Haddii jawaabtu sax tahay, qaddarka la qaybiyay ayaa lagu darayaa; haddii jawaabtu khaldan tahay, waa laga jarayaa. Afarta natiijo ee suurtagalka ah, natiijooyinka kama dambaysta ah ee soo socda ayaa soo baxaya.:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{Fall} & A & B\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a & x_b+y_b\\
A \text{ richtig}, B \text{ falsch} & x_a+y_a & x_b-y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a & x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a & x_b-y_b
\end{array}
$$
Bandhigga dhexdiisa, barbar dhac ayaa horseedaya su'aal qiyaaseed. Sidaa darteed, waxay ku sii muuqataa shaxda kiis gooni ah "=". Qiimaha boqolleyda ee suurtogalnimada guusha, waxaan tirinaa guulo toos ah afarta kiis ee hoosaad ee si isku mid ah u dhici kara. Qaab sida \(|A|B|A|A|\) wuxuu keenaa saddex guul oo toos ah Kooxda \(A\) iyo hal Kooxda \(B\) . Barbardhac looma tiriyo guul toos ah labada kooxoodba. Tirintan saxda ah waa muhiim; kuma filna in si fudud loo tiriyo unug dhan "buluug" ama "casaan".
Qaabkani wuxuu ka kooban yahay mala-awaal: Waxaan ula dhaqannaa afarta isku-darka jawaabaha inay si isku mid ah u badan yihiin. Sidaa darteed, kuma saabsana in Kooxda \(A\) ama Kooxda \(B\) ay si fiican u yaqaanaan qaybta, laakiin waxay ku saabsan tahay oo keliya istaraatiijiyadda la isticmaalay ka hor inta aan la jawaabin.
Aan
$$
d=x_a-x_b.
$$
Markaas \(d>0\) waa faa'iidada kooxda \(A\) . Su'aashu hadda waa: Waa maxay saamiga ugu habboon?
Shaxda dhammaystiran ee sharadyada suurtagalka ah waxaa si firfircoon loo xisaabin karaa.:
Aragtida Kooxda A
Marka hore waxaan baarnaa marka Kooxda \(A\) ay ku guuleysato sharad go'an \(y_a\) iyo \(y_b\) .
Kiiska
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Had iyo jeer waxay u socotaa Kooxda \(A\) , sababtoo ah
$$
x_a+y_a > x_b-y_b
$$
Tani si toos ah ayay u khuseysaa sababtoo ah \(x_a>x_b\) iyo \(y_a,y_b>0\) .
Saddexda kiis ee kale, waxaan helnaa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & x_a+y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & x_a-y_a>x_b+y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & x_a-y_a>x_b-y_b
\end{array}
$$
Iyadoo \(x_a=x_b+d\) tani waxay noqonaysaa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & d+y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & d-y_a>y_b\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & d-y_a>-y_b
\end{array}
$$
Markaa:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Fall} & A \text{ gewinnt genau dann}\\
\hline
A \text{ richtig}, B \text{ richtig} & y_b<y_a+d\\
A \text{ falsch}, B \text{ richtig} & y_b<d-y_a\\
A \text{ falsch}, B \text{ falsch} & y_b>y_a-d
\end{array}
$$
Habka tirinta hadda waa muhiim. Hore, qofku wuxuu ku jiri karaa inuu qiimeeyo unug kasta oo keliya iyadoo lagu saleynayo inuu ka kooban yahay kiisas badan oo \(A\) ah marka loo eego \(B\) . Si kastaba ha ahaatee, tani aad bay u fudud tahay xisaabinta suurtagalnimada guusha. Afarta kiis ee hoose laftoodu waa dhacdooyin isku mid ah oo suurtagal ah. Sidaa darteed, \(|A|B|A|A|\) looma tiriyo inay tahay hal guul oo \(A\) ah, laakiin waxay u dhigantaa saddex kiis oo hoosaad oo lagu guuleystay \(A\) .
Saami go'an \(y_a\) ee kooxda \(A\) sidaas darteed waxaan ku soo koobeynaa galka shaqsiga \(A\) ee afarta kiis dhammaan saamiyada suurtagalka ah \(y_b=1,2,\ldots,x_b\) .
Kiisaska " \(A\) sax ah, \(B\) khaldan" had iyo jeer waxay u tagaan kooxda \(A\) . Tani waxay horey u soo saartay \(x_b\) kiis-hoosaadyo lagu guuleystay.
Tirooyinka soo socda waxay ka dhasheen saddexda kiis ee kale.:
$$
\begin{aligned}
N_1(y_a)&=\min(x_b,d+y_a-1),\\
N_3(y_a)&=\min(x_b,\max(0,d-y_a-1)),\\
N_4(y_a)&=\begin{cases}
x_b, & y_a\leq d,\\
\max(0,x_b-y_a+d), & y_a>d.
\end{cases}
\end{aligned}
$$
Taas macnaheedu waa tirada kiisaska hoose ee ay ku guuleysatay Kooxda \(A\) waa
$$
N_A(y_a)=x_b+N_1(y_a)+N_3(y_a)+N_4(y_a).
$$
Suurtagalnimada u dhiganta ee lagu guuleysan karo waa
$$
P_A(y_a)=\frac{N_A(y_a)}{4x_b}.
$$
Maadaama barbar dhac aan halkan lagu darin, \(P_A\) waa suurtogalnimada ah in si toos ah loogu guuleysto su'aasha ugu weyn (iyada oo aan la helin su'aal qiyaas ah).
Tirintan saxda ah waxay si yar u beddeshaa heerka ugu sarreeya marka loo eego inta badan unugyada fudud. Kooxda \(A\) meelaha codsiga ugu wanaagsan ee soo socda ayaa soo baxa.:
$$
\boxed{
\begin{cases}
1\leq y_a\leq2, & x_b=1,\ d=2,\\
d\leq y_a\leq x_b-d+1, & 2d\leq x_b+1,\\
1\leq y_a\leq d, & 2d=x_b+2,\\
1\leq y_a\leq \max(1,x_b-d+1,d-x_b-1), & 2d>x_b+2.
\end{cases}
}
$$
Dhammaan sharadyada ku jira aaggan waxay kordhiyaan fursadda Kooxda \(A\) ee ah inay ku guuleysato. Haddii aad rabto inaad sharad ku gasho qaddarka ugu badan ee suurtogalka ah ee sharadyada isku midka ah ee wanaagsan, waa inaad had iyo jeer isticmaashaa geeska midig ee aagga.
Tusaale:
$$
x_a=30,\qquad x_b=22.
$$
Kadib
$$
d=x_a-x_b=8.
$$
Halkaas
$$
2d=16\leq 23=x_b+1
$$
Kala duwanaanshaha ugu fiican ayaa khuseeya.
$$
8\leq y_a\leq 15.
$$
Sidaa darteed, isticmaalka ugu wanaagsan ayaa ah habka ugu wanaagsan ee loo isticmaalo
$$
\boxed{y_a=15}.
$$
Habkii hore ee tixgelinta unugyada oo dhan ayaa soo jeedin lahaa kala duwanaanshaha \(9\leq y_a\leq 14\) . Tirada kiisaska qayb ahaan waxay si sax ah u muujinaysaa in labada qiime ee xuduudaha \(8\) iyo \(15\) ay sidoo kale yihiin kuwo ugu fiican.
Aragtida Kooxda B
Hadda waxaan ka fiirsaneynaa isla xaaladdan marka laga eego dhinaca kooxda daba socota \(B\) . Halkan sidoo kale, ma tirineyno oo keliya unugyada oo dhan, laakiin waxaan tirineynaa qoraallada shaqsiga \(B\) ee afarta qaybood ee hoose.
Kiiska
$$
A \text{ richtig}, B \text{ falsch}
$$
Kooxda \(B\) had iyo jeer way lumisaa. Saddexda kiis ee soo haray, Kooxda \(B\) waxay heshaa tirada soo socota ee kiisaska hoose ee lagu guuleystay ee saamiga go'an \(y_b\) marka la soo koobo dhammaan suurtagalka \(y_a=1,2,\ldots,x_a\):
$$
\begin{aligned}
M_1(y_b)&=\max(0,y_b-d-1),\\
M_3(y_b)&=x_a-\max(0,d-y_b),\\
M_4(y_b)&=\max(0,x_b-y_b).
\end{aligned}
$$
Waa sidaas oo kale
$$
N_B(y_b)=M_1(y_b)+M_3(y_b)+M_4(y_b)
$$
iyo fursadda la xiriirta guusha
$$
P_B(y_b)=\frac{N_B(y_b)}{4x_a}.
$$
Tan waxay u sahlaysaa \(y_b\leq d\) inay
$$
N_B(y_b)=2x_b.
$$
Qof kaliya ayaa heli kara \(y_b>d\)
$$
N_B(y_b)=2x_b-1.
$$
Kani waa meesha ugu habboon ee Kooxda \(B\)
$$
\boxed{
1\leq y_b\leq \min(d,x_b).
}
$$
Kani waa sixitaan muhiim ah marka la barbar dhigo habka aqlabiyadda unugyada cruder: Sharadka ugu fiican ee Kooxda \(B\) daruuri maaha \(1\) gaar ah. Tusaale ahaan, haddii Kooxda \(A\) ay ka horreyso \(d=8\) oo Kooxda \(B\) ay ugu badnaan sharad geli karto \(22\) , markaa dhammaan sharadka \(B\) waa kuwa ugu fiican marka loo eego suurtagalnimada guusha.:
$$
1\leq y_b\leq 8.
$$
Dareenka ayaa weli isku mid ah: Kooxda daba socota waa inaysan sharad sare oo aan loo baahnayn ku sharad gelin. In kasta oo sharadka aadka u sarreeya uu hagaajiyo xaaladaha shaqsiyeed, haddana waxay ka sii daraan kuwa kale. Isla marka \(y_b\) uu dhaafo khasaaraha \(d\) , kooxda \(B\) waxay lumisaa xaalad guud ahaan. Sidaa darteed, kooxda hormuudka ah waxay sharad ku dhigtaa si, dhammaan sharadyada suurtagalka ah ee ay sameeyaan kuwa ka soo horjeeda, ay ugu guuleystaan xaalado shaqsiyeed oo badan intii suurtagal ah.
Qofka daba-galaya sharad kuma galo hal euro, laakiin ugu badnaan waa sida hoos u dhaca. Su'aasha ugu weyni waa tusaale wanaagsan oo ah inta aragti ee ciyaarta ku jirta xeerka su'aalaha fudud: waxa muhiimka ahi maaha oo keliya unugga ku dambeeya buluug ama casaan, laakiin inta ka mid ah afarta kiis ee hoose ee unuggaas ku jira ayaa dhab ahaantii la guuleystay.