Paradoksalna strategia wygrywająca podczas zgadywania liczb

Thomas M. Cover zadał następujące zdumiewające pytanie w 1987 roku w „Open Problems in Communication and Computation”: Gracz \(X\) zapisuje dwie różne i losowo wybrane liczby naturalne \(A\) i \(B\) do dwóch różnych Kawałek papieru i połóż go twarzą w dół na stole. Gracz \(Y\) wybiera teraz losowo jeden z tych kawałków papieru, widzi numer i teraz musi zdecydować, czy ta liczba jest mniejsza czy większa niż druga liczba, która wciąż jest zakryta na stole.


Gracz \(Y\) nie może odwrócić zakrytej karty. Najpierw pozwala zdecydować monetą iw ten sposób znalazł strategię z prawdopodobieństwem wygranej \(50\%\) . Czy istnieje inna strategia o wyższym prawdopodobieństwie?

Zanim gracz \(Y\) losowo wybierze jedną z dwóch kartek papieru, wyznacza dowolną liczbę naturalną \(C\) . Następnie odwraca losowo jeden z dwóch kawałków papieru. Teraz decyduje w następujący sposób: Jeśli odwrócona liczba to \( \leq C \) , wybiera liczbę na drugiej kartce jako większą; jeśli odwrócona liczba to \( > C\) , wybiera liczbę, która właśnie została odwrócona, jako większą. O dziwo, prawdopodobieństwo wygranej wynosi teraz \( > 50\% \) .

Najpierw ustawiamy oznaczenie dwóch liczb na \(A < B\) . Wtedy dokładnie jeden z trzech następujących przypadków występuje bezpośrednio po zaznaczeniu \(C\):

  • I przypadek: \( C \leq A < B \) : Wtedy prawdopodobieństwo wygranej wynosi \(50\%\) , ponieważ nie ma wiedzy o \(A\) i \(B\) .
  • Drugi przypadek: \( A < B \leq C \) : Wtedy prawdopodobieństwo wygranej wynosi \(50\%\) , ponieważ nie ma wiedzy o \(A\) i \(B\) .
  • Trzeci przypadek: \( A < C < B \) : Wtedy prawdopodobieństwo wygranej wynosi \(100\%\) , ponieważ jeśli \( B \) obrócone jako pierwsze, pozostaje przy \( B \) i jeśli \(A\) najpierw odwracany, przełączasz się na \(B\) , więc zawsze wybierasz większą liczbę.

Co zaskakujące, ta strategia jest również stosowana w życiu codziennym: na przykład, jeśli musisz od razu zdecydować się na zakup produktu lub przeciwko niemu bez możliwości uzyskania oferty porównawczej, z góry ustalasz sobie limit finansowy. Jeśli ten limit jest spełniony przez rzeczywistą cenę, następuje zakup - w przeciwnym razie nie.

Plecy