Thomas M. Cover a posé la question étonnante suivante en 1987 dans "Open Problems in Communication and Computation": Player \(X\) écrit deux nombres naturels différents et choisis au hasard \(A\) et \(B\) à deux différents Glissez du papier et posez-le face cachée sur une table. Le joueur \(Y\) sélectionne maintenant au hasard l'un de ces morceaux de papier, voit le nombre et doit maintenant décider si ce nombre est plus petit ou plus grand que l'autre nombre qui est toujours caché sur la table.
Le joueur \(Y\) ne peut pas retourner la carte face cachée. Il laisse d'abord la pièce décider et a ainsi trouvé une stratégie avec une probabilité de gain de \(50\%\) . Existe-t-il une autre stratégie avec une probabilité plus élevée?
Avant que le joueur \(Y\) sélectionne au hasard l'un des deux morceaux de papier, il détermine un nombre naturel arbitraire \(C\) . Puis il retourne l'un des deux morceaux de papier au hasard. Maintenant, il décide comme suit: Si le nombre inversé est \( \leq C \) , il sélectionne le nombre sur l'autre feuille de papier comme le plus grand; si le nombre inversé est \( > C\) , il sélectionne le nombre qui vient d'être inversé comme le plus grand. Étonnamment, la probabilité de gagner est maintenant \( > 50\% \) .
Nous définissons d'abord la désignation des deux nombres sur \(A < B\) . Alors exactement l'un des trois cas suivants se produit immédiatement après la sélection de \(C\):
- 1er cas: \( C \leq A < B \) : Alors la probabilité de gagner est \(50\%\) , car il n'y a aucune connaissance sur \(A\) et \(B\) .
- 2ème cas: \( A < B \leq C \) : Alors la probabilité de gagner est \(50\%\) , car il n'y a aucune connaissance sur \(A\) et \(B\) .
- 3ème cas: \( A < C < B \) : Alors la probabilité de gagner est \(100\%\) , car si \( B \) tourné en premier, on reste avec \( B \) et si \(A\) inversé en premier, vous passez à \(B\) , vous choisissez donc toujours le plus grand nombre.
Étonnamment, cette stratégie est également utilisée dans la vie de tous les jours: par exemple, si vous devez décider immédiatement pour ou contre l'achat d'un produit sans pouvoir obtenir une offre de comparaison, vous vous fixez une limite financière à l'avance. Si cette limite est atteinte par le prix réel, l'achat est effectué, sinon non.